普通人如何才能接近理念世界？柏拉图的答案是：学习数学

肉眼凡胎的普通人如何才能接近理念世界？柏拉图的答案是：学习数学。

当然，数学的世界本身也还不是理念世界，因为数学的对象还是肉眼可以看到的，比如几何图形、天穹星象……但通过演练数学，你可以被引向理念世界。传说柏拉图学院门口有个牌子，写着"不懂几何者不得入内"。

《柏拉图的学院》马赛克镶嵌画-来自庞贝的西米纽斯斯蒂芬斯别墅(图自维基)

为什么数学可以达成这样的目标？原因有二：

其一，数学知识最接近理念知识所应有的纯粹性。数学的研究对象似乎是可以见到的，但又仿佛不在现实生活中。比如，自然数字 1、2、3，似乎可以在现实中看到一支笔，两张纸，三个人，可是细想一想，那个单纯的 1、2、3，似乎又不是我们能够看到的。三角形固然可以画出来，因而被我们看到，可是画出来的三角形并不是严格的几何三角形。严格的几何对象，点是没有大小的，线是没有粗细的，面是没有厚度的，所以，任何画出来的三角形都不是严格的几何三角形。实际上，画出来的三角形总是一个特定的三角形，有特定的角度和边长，可是几何学要讨论的经常是任意三角形，而任意三角形是画不出来的。因此，在几何证明时，不能依赖画出来的图形，而要靠思维的力量超脱图形的无形约束。你要不断地透过现实的尺规作出来的图，看到没有大小的点，没有粗细的线，没有厚薄的面。「所以我们说，数学具有一种不可思议的功能，它能够帮助你由此及彼，由现实进入超越世界。学数学是一个准备性训练。学完数学的人，才能够满怀信心地真正去学习纯粹的理念知识。」

柏拉图强调几何学知识的超越性，也强调几何学对象的超越性。他反对过多地使用画图工具，认为那样一来就会损坏几何学的纯粹性，因此做出了只许使用直尺和圆规作图的限定。

其二，数学是苏格拉底所推崇的确定性知识的典范。数学知识都是说一不二的，对就是对，错就是错。咱们考数学，有考一百分的，也有考五分的，那语文就不容易考一百分，也不容易考五分，因为语文没有那么说一不二。

数学知识的确定性，一定给柏拉图留下深刻印象，所以他一直鼓励他学院里面的人都要好好研究数学。根据目前留传下来的历史资料，柏拉图本人似乎没有做过什么数学研究，不是个数学家，但他的确是一位数学哲学家。他重视数学、推崇数学，引导他的学生们致力于数学研究。

柏拉图学院里面数学家特别多，有名有姓的，就有十多个人。这里，我们只简单提一下三个最有名的：

第一个人叫「泰阿泰德」，据说他发现了第五种正多面体。在此之前，毕达哥拉斯学派已经发现了四种正多面体，而泰阿泰德发现了第五种。据说泰阿泰德还证明了，正多面体有且只有五种，这个后面我们会细说。

第二个是「欧多克斯」，他是希腊数理天文学的创始人。他的数学非常厉害。在希腊，天文学属于数学学科，是应用性的球面几何学。他的开创性工作，我们将在第 6 章专门讲述。

欧几里得, 公元前325年－前265年

第三个人物是「欧几里得」，《几何原本》的作者。关于他的生平没有太多记载，只知道他大约活跃于公元前 300 年左右。由于年深岁久，欧几里得的生平事迹都失传了。后世史学家只知道他的鼎盛年大概是公元前 300 年。如果这一年他 40 岁正当盛年的话，那么他应该是大约出生于公元前 340 年，柏拉图那时已经去世了。可以肯定的是，他曾经在柏拉图学园学习过。当然，他没有见过柏拉图。由于他的一生正处在希腊古典文明末期和希腊化文明的早期，他的《几何原本》作为希腊古典几何学的集大成，应该是在希腊化时期的科学中心、托勒密埃及的首都亚历山大城写成的。他的工作，我们在以后讲希腊化科学的时候再详细说。

五个正多面体

我们这里简单讲一讲五个正多面体的故事，那是一部人类科学思想史上极为浪漫、极为动人的一个故事。这个故事也反映出了柏拉图主义对于整个西方科学史的巨大而持久的影响。

什么叫正多面体，正多面体的意思就是，每个面是完全相同的正多边形，而正多边形每条边都相同。正多边形可以有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形……这么多正多边形要组成一个立体的话，可以构成几个？柏拉图学派证明了有且只有五个。

我们可以做一个不太严格的证明。要构成一个立体角，就要求构成这些立体角的各个面的角度加起来必须小于 360 度，等于都不行。正多边形边越多，内角就越大，正三角形的内角度是 60 度，正四边形是 90 度，正五边形 108 度，正六边形是 120 度。构成一个立体角至少需要三条棱，如果是 120 度的话，乘以 3 就 360 度了，所以，正六边形就不能构成一个立体角。换而言之，正多面体只能由正三角形、正四边形和正五边形这三种正多边形构成。

如果用正三角形的话，每个角 60 度，可以有 3 条棱、4 条棱、5 条棱三种可能，分别可以构成正四面体、正八面体和正二十面体。6 条棱就不行了。正四边形每个角 90 度，只有 3 条棱一种可能性，可以构成正方体。正五边形每个角 108 度，只有 3 条棱一种可能性，可以构成正十二面体。所有可能的结果加起来就是，正多面体有且只有五个。

柏拉图学派认为，正多面体是多面体中最美妙的，因为它的每条边一样长，每个面一样大，可是，它居然就只有五个。这是为什么呢？这中间有什么奥妙可言吗？

对数字非常敏感的毕达哥拉斯主义学派来说，这个数字五就必然很有说道。「怎么就这么巧，正多面体有且只有五个呢？」

哥白尼体系提出来以后，太阳成了宇宙的中心，围绕太阳旋转的行星成了六个，分别是水星、 金星、地球、火星、木星、土星。「开普勒」是当时著名的哥白尼主义者，也是个狂热的毕达哥拉斯主义者。于是他就琢磨，行星有六个，正多面体有五个，要说它们之间毫无联系怎么可能呢？

开普勒在《宇宙的神秘》中关于太阳系的柏拉图式实体模型（1596年）, 图自维基

于是，他就拼命地去琢磨这六个行星的轨道。琢磨来琢磨去，终于有一天他琢磨出来了。通过五个正多面体，进行内切和外接的嵌套，可以产生六个球，这些球的大小正好符合六个行星的轨道尺寸。

他想出来以后，特别兴奋，有一种发现了世界秘密的感觉，于是写了一本书，叫《宇宙的奥秘》。那本书问世以后，被另外一个天文学家第谷看到了。第谷发现，这个人的数学功底真不错，就决定收他为徒。

第谷本人不是数学家，但是他有很多重大天文发现和系统而精确的天文记录，特别是，他有非常完整的火星位置数据。开普勒继承了第谷的数据，在此基础上最终发现了行星运动的三定律。开普勒三定律直接导向了牛顿的万有引力定律，是天文学史上一个非常伟大的发现。可是，指导他做出伟大发现的动机，竟然是柏拉图学派最早发现的五个正多面体。