什么是模态分析？模态分析有什么用？

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结构动力学分析中，最基础、也是最重要的一种分析类型就是“结构模态分析”。模态分析主要用于计算结构的振动频率和振动形态，因此，又可以叫做频率分析或者是振型分析。动力学分析可分为时域分析与频域分析，模态分析是动力学频域分析的基础分析类型。

基础理论

动力学控制方程可表示为微分方程：

 

其中，[M] 为结构质量矩阵，[C] 为结构阻尼矩阵，[K] 为结构刚度矩阵，{F } 为随时间变化的外力载荷函数，{u} 为节点位移矢量，

 

为节点速度矢量，{ü} 为节点加速度矢量。

在结构模态分析中不需要考虑外力的影响，因此，模态分析的动力学控制方程可表示为：

 

理想情况下，结构在振动过程中，不考虑阻尼效应，也就是所谓的自由振动情况，模态分析又可描述为：

 

对上进一步分析，假设此时的自由振动为谐响应运动，也就是说u=u0sin(ωt)，上又可进一步描述为：

 

对上式求解，可得方程的根是ωi ²，即特征值，其中i 的范围是从1到结构自由度个数N（有限元分析中，自由度个数N 一般不超过分析模型网格节点数的三倍）。

特征值开平方根是ωi，即固有圆周频率，这样，结构振动频率（结构固有频率）fi 就可通过公式fi =ωi/2π 得到。有限元模态分析可以得到fi 或者ωi，都可以用来描述结构的振动频率。

特征值对应的特性矢量为{u}i。特征矢量{u}i 表示结构在以固有频率fi 振动时所具有的振动形状（振型）。

模态分析中的矩阵

1. 模态分析微分方程组包含六个矩阵：

 

• [K] 代表刚度矩阵。可参考“结构静力学”中的解释说明。
• {u} 代表位移矢量。主要用来描述模态分析的振型。可参考“结构静力学”中的解释说明，但一定要注意，模态分析中得到的位移矢量与静力学分析中位移矢量代表变形不同。
• [C] 代表阻尼矩阵。指结构在振动过程中受到的阻尼。事实上，在宇宙空间中，任何结构在动力学过程中都包含阻尼，阻尼直接影响到结构的振动频率与振动形态。比如某些结构为了降低振动带来的产品性能伤害，选择用橡胶垫片等。然而在频率计算中，因为阻尼对常规结构的影响较小，往往忽略阻尼。阻尼的种类很多，在有限元分析中，有材料阻尼、结构阻尼、系统阻尼以及瑞利阻尼等。
• 代表节点速度矢量。速度矢量与阻尼矩阵共同组成了力平衡矩阵，速度矢量就是位移矢量的一阶导数。速度矢量同样需要通过有限元计算得到。
• [M] 代表结构质量矩阵。质量矩阵形成结构的固有惯性，是区别于静力学分析的又一重要因素。在有限元分析时，往往需要对结构网格化，因为网格化技术的限制，有限元模型得到结构质量与实际模型质量往往不同，这里就需要工程师具备丰富的工程经验来判断修正与质量配平。
• {ü} 代表节点加速度矢量。加速度矢量与质量矩阵共同组成了力平衡矩阵，加速度矢量就是位移矢量的二阶导数。加速度矢量同样需要通过有限元计算得到。

振动频率影响因素

考虑模态分析最简单的转换形式

 

对其进一步转化，可得ω²=[K]/([M]){u})。因此，模态频率与结构的刚度成正比，与结构的质量成反比。

通过上面的描述，我们可以得到模态分析的一些基本特征：

• 模态分析是动力学分析的一种最简化形式的分析类型，也就是说，所有的动力学分析中，都直接或者间接包含了模态计算。
• 一般性模态分析中，至少要包含质量矩阵与刚度矩阵，刚度矩阵一般通过杨氏模量表示，质量矩阵一般通过密度表示。也就是说，模态分析在结构材料属性定义时，相比静力学分析，要多一个密度属性的设定。
• 模态分析的频率总是在对应的振动形态下产生的，也就是说，在描述结构振动频率时，往往要考虑此阶模态下的结构振动方向。
• 模态分析中的约束关系会影响结构的刚度矩阵，但是在分析过程中，约束条件不是必要条件，也就是说可不添加约束。
• 模态分析在有限元计算过程中，一定要保证结构网格的疏密合理、大小均匀分布，这样用足够的网格数才能得到合理的振动形态，进而得到合理的振动频率。
• 有限元分析中，模态分析计算得到的频率有多阶，按照从小到大的方式输出。

模态分析相关实例

选择静力学分析时用到的悬臂梁模型，并添加钢密度属性7850Kg/m³；不考虑悬臂梁顶部的重物（考虑重物对悬臂梁的影响时，可选择预应力模态分析）。要求通过有限元分析技术得到结构的固有频率。

分析思路与求解过程要点说明：

• 悬臂梁一端固定，不考虑阻尼效应，由于结构此时没有受外力影响，故选择最简模式模态分析。结构动力学设计中，往往低阶频率是工程师比较关注的，此例子提取前6阶模态；

• 选择合适单元类型，并采用合适的网格技术得到悬臂梁合适的网格划分，确保网格划分后的有限元网格模型与实际悬臂量模型接近；

• 选择合适的计算机设备求解；
• 对求解结果进行合理性判断。

实例结果与讨论：

通过有限元结构模态分析计算输出数据判断，此悬臂梁前两阶模态分别代表悬臂梁的Y方向振动与X方向振动，提取模态振型如下所示：

 

1阶模态振型（此振型代表悬臂量的Y方向基础振型）

 

2阶模态振型（此振型代表悬臂量的X方向基础振型）

 

前6阶模态频率展示

通过输出数据可知，1阶模态振型条件下，结构振动频率为141Hz；2阶模态振型条件下，结构振动频率为244Hz。此时，通过有限元其他输出数据可得到，1阶模态振型条件下，结构有效振动质量约占总体质量的71%；2阶模态振型条件下，结构有效振动质量约占总体质量的74%。

结果判断与讨论：

• 结构前两阶模态频率是否满足结构设计，需要与结构外力条件（或者是激励）对比。如果频率接近，此时结构产生共振，容易导致结构破坏；如果频率相差较远（不管是频率偏大还是偏小），说明结构振动频率满足设计。
• 如果模态频率与结构设计激励频率接近，需要进一步采用其他动力学分析类型（比如谐响应分析）计算结构的动态特征，此时，一般情况下，需要考虑模态计算时结构振动频率下的有效质量。比如此例中，1阶模态振动方向为Y方向，此时Y方向在前6阶模态的有效质量占比约为71%，是不满足计算要求的，也就是说，此例中模态计算是不准确的，采用当前的网格技术以及模态计算方法不能够进行后期的动力学计算（可通过提高网格精度以及提取更多的模态数提供有效质量占比）。
• 模态振型结果中，往往会有云图显示，此时云图数据（如上面1阶模态振型图）不代表结构实际的位移变形量；此云图数据描述了结构振动过程中，各部分的变形相对数据，可服务于后期其他动力学计算。

总结与说明

• 模态分析需要结构具有较为均匀的网格尺寸；
• 随着模型网格单元的数目增多，可计算的模态阶数也增多，需要选择合适的模态计算阶数，往往前几阶频率是工程应用中比较关注的；
• 模态阶数的选择，一般要求参与计算的各模态等效质量大于整体结构质量的95%；
• 模态计算中，一般应把结构在坐标系统中的三个方向的模态计算出来；
• 模态计算用于计算频率与当前频率下的结构振型，变形与应力结果仅仅作为振型的参考，不可直接应用于强度与刚度计算；
• 模态计算中，材料属性除了杨氏模量等刚度参数，必须包括质量参数，比如密度或者质量；
• 模态计算得到的频率可作为结构产生共振的参考，具体的共振效应分析需要结合其他分析过程；
• 模态计算中，应建立合适的计算模型，确定要计算局部模态还是整体模态。

模态分析思想与步骤：

• 确定分析需求，建立合适的计算模型；
• 确定结构质量分布与刚度分；
• 考虑结构的弹性模型、泊松比以及质量参数（比如密度），确定合适的边界条件；
• 提取一定振动条件下的振动形态与频率；
• 如果需要进一步了解模态分析，请参考其他技术分享内容，比如：预应力模态分析、谐波分析等。

模态分析选用软件建议：ansys、abaqus、adina、nastran等通用有限元分析皆可，其中nastran在工程库方面略有优势。结果精度主要依赖于工程师对结构设计的理解，与软件选择无关。