涨知识！(a+b)²=a²+2ab+b²，及“勾股定理”原来是这么来的

2021-04-01 今日头条学个习

相信只要是上过初中的同学，对于“(a+b)²=a²+2ab+b²”这个公式肯定都很熟悉(不熟悉的请自行请教自己的体育老师)，但是，对于它的原理可能有人会不知道！

所以，今天给大家介绍下这个公式究竟是怎么来的，同时，还会解释下我们非常熟悉的勾股定理。以及这里面蕴含的思想又是什么？

最关键的不是让大家知道这两个公式的原理，而是掌握这种数学思想，这对于我们的中考以及高考做题都至关重要，可以让我们花更少的时间快速做题，这对于分秒必争的中高考考场来说，至关重要！

首先，在初中的时候，我们可以将这个公式一般看作两个数的乘法。

分别是：( a+b ) x( a+b )

然后，挨个相乘再相加就有了如下等式：

(a+b)²=a²+ ab+ ab+ b²

我们下面再开始讲这个等式是怎么来的，原理是什么，也可以理解为简单的证明。

我们首先作一条线，命名为l，并且将这条线分为两部分，a与b，那么，这条线的长度就等于a+b，如下图所示：

接着，我们再以这条线为边，作一个正方形，并且，同时在线上标出a与b，如下图所示：

做完正方形以后，我们用虚线将正方形进行划分。相信大家可能都已经发现了，主要分为以下四部分：

然后，我们依次求出这四部分图形的面积，非常简单，分别为a²、b²、ab、ab，示意图如下所示：

最后，再将这四个部分加起来，是不是就有了a²+2ab+b²了呢？

那么，为啥说“(a+b)²=a²+2ab+b²”呢？聪明的孩子肯定已经知道了，那就是正方形的面积公式。

以a+b为边长的正方形面积不就是(a+b)²吗？而划分出来的四部分面积加起来，刚好也是同一个正方形的面积。

所以说，(a+b)²=a²+2ab+b²肯定是成立的，以上就是(a+b)²=a²+2ab+b²的原理，大家学会了吗？

同样的道理，我们还可以算出(a-b)²呢！大家不妨可以自己试一试，然后在评论区留下你的答案，看看是不是对的！

下面再看一个我们最熟悉的“勾股定理：a²+b²=c²”，看看到底是怎么推导出来的。

直接看下面这张图

还是先以( a+b)为边长作一个正方形，然后再将各个边长的分界点连起来，如上图所示。

那么，我们依旧采用与前一个等式证明一样的原理，还是算大正方形的面积，以及各个部分的面积，再让两部分面积相等！

最外面大的正方形面积还是(a+b)²，计算里面的小正方形面积为c²。

那么，剩下的四个等大的三角形，每一个的面积是1/2*ab，则四个的总面积为：4x1/2ab=2ab

然后，正方形总面积与各部分面积和相等，可以推出以下公式：

c²+2ab=(a+b)²

展开化简，两边消去2ab，即可得到勾股定理公式：a²+b²=c²

是不是超级简单呢？

那么，通过这两个等式的证明，不知道大家有没有发现运用的原理，其实，非常简单，那就是“数形结合、数形转换”的原理。

所以，这篇文章不只是为了给大家讲这么简单的两个公式，我们的目的在于为大家传达这种数形转换思想的重要性。

这种思想，对于我们理解初高中数学概念非常重要，同时，也可以扩展到高中做题上，也就是我们常说的数形结合法。

往往很多特别抽象的定理以及等式，理解起来可能又抽象又困难，但是，只要用图形的方式来把它画出来以后，往往一目了然。

这就是几何的魅力所在，大部分数学题，即使是竞赛题，50%都是可以转换为几何题来做。

所以，建议同学们在培养这种思想上多下功夫，这不光可以锻炼大家的思维能力，还能为将来巧妙快速做题打下基础，在中高考中让自己脱颖而出，很多方法就是这么一点点积累出来的！

量变才能引起质变！