一、引言

众所周知，交易策略的成功与否，抛开执行层面、心理层面和特殊人物被人刻意盯盘打压的阴谋论层面的影响因素，主要取决于获胜率、仓位比例、止损比例和盈亏比这四个因素。至于止盈比例，该参数与盈亏比是等价参数，在止损比例为常数的情况下，盈亏比确定后，也就确定了止盈比例，而止损比例的调整一般会影响到策略的获胜率。

在获胜率和止损比例确定的情况下，研究显示，理论上确实存在保证交易策略从统计角度上获得正收益的最小盈亏比之代数解，但大量的模拟测试的结果显示，当获胜率偏低时，这个理论盈亏比的代数解并不能保证策略在长期大量交易后获得正收益。

出现这个现象的原因，主要是获胜率较低时，失败的交易，尤其是连续的失败交易，对策略后期收益率的负面影响非常大，以至于经过“无数次交易”后，不仅不能保证交易策略获得正收益，到可能在极短的时间内将资金亏完，被市场提前淘汰出局，也就是你连赌的机会都失去了。

跟踪研究显示，目前还没有关于最小盈亏比计算公式的论文或文章，但从实践中我们可以知道，一个信号系统的获胜率与止损比例之间，似乎确实存在某种若隐若现可量化的关联性。一般来说，止损比例稍微调高或调低点，要达到期望止盈比例的获胜率都会相应地发生变化，策略的盈亏比也自然会相应发生变化。

当然，每个交易者都希望盈亏比越大越好，然而，这种美好的期望并不一定能够实现，因此，研究最大盈亏比是没有意义的，对实战有帮助的，是去研究最小盈亏比，也就是保证策略长期交易后仍然能够获得正收益的最小盈亏比。

盈亏比不仅与止损比例有联动性，而且从某种意义上决定了策略是否能够长期生存，也就是说，类似赌局的交易是否能够一直进行下去。也许，你觉得你的盈亏比够大了，甚至这个盈亏比也满足凯利公式，但实际上，这个你认为较大的盈亏比却无法支撑你赌到最后。

因此，无论是交易员，还是投资公司风控部门的经理们，都希望有一个以某些参数为自变量的最小盈亏比计算公式，以便在策略投入运行前，可以借此判断策略获胜率、止损比例、持仓比例的组合，是否能够保证交易策略长期下来获得正收益的盈亏比最低要求。本文可以证明和验证，这个盈亏比通用计算公式具有下面的形式：

 

其中，幂函数的显性变量R为交易策略获胜率，幂函数的系数μ和指数ρ均为持仓比例φ的线性函数，即持仓比例φ是公式的隐性变量，欲知公式的完整形式和推导过程，请耐心读完全文。

二、研究目的和研究方法

本文的研究目的，是通过对交易策略最小盈亏比的取值进行量化研究，在假设止损比例为某个常数的情况下，建立一个以持仓比例和获胜率为自变量的最小盈亏比通用计算公式，只要将持仓比例和获胜率代入公式，即可快速计算得到一个保证策略安全运行的最小盈亏比，投资公司的风控部门结合该策略短期的运行数据，可以据此评估策略长期运行的安全性。

本文的研究方法如下：

1. 利用随机函数生成一组0-1之间的随机值，本文为500个随机值。
2. 选择随机值的触发阈值H（即理论获胜率），随机值小于或等于触发阈值H，视为盈利信号，大于触发阈值H，视为止损信号，并计算得到实际的获胜率（不同信号序列采用相同策略进行比较时，要通过选择理论获胜率，使得两个信号序列的实际获胜率一样）。
3. 给定止损比例（本文研究模型为常数20%）。
4. 给定持仓比例（一级变量）。
5. 选择某个实际获胜率（二级变量），当信号序号触发盈利信号时，利用止盈比例计算出投入资金的盈利额，反之，当信号触发止损信号时，利用止损比例计算出投入资金的亏损额，盈亏额累计并除以初始资金，得到策略的收益率曲线。
6. 通过计算机循环计算不同盈亏比的收益率曲线，可以得到给定交易策略500次交易后收益率“正好”为零值的盈亏比。
7. 给出新的实际获胜率，即通过手动测试或计算机循环调整触发阈值H得到新的实际获胜率，重复步骤5和6，得到实际获胜率分别为15、16%、......，58%、59%的45个保本盈亏比，通过获胜率和盈亏比的散点图，得到给定止损比例（常数）和持仓比例（一级变量取特定值）情况下，变量为获胜率的保本盈亏比经验公式。
8. 调整一级变量，即给出新的持仓比例，重复5-7步骤，获得对应新的一级变量（持仓比例）的盈亏比经验公式。
9. 研究不同一级变量（持仓比例）对应的盈亏比经验公式，通过研究公式中参数与一级变量（持仓比例）之间的散点关系，最终获得变量为获胜率和持仓比例的通用经验公式。

为描述和公式表达简洁，采用下面术语符号“

 

三、理论上可保证策略盈利的概率平衡盈亏比

为了保证策略在长期交易后，仍然能够以比较大的概率获得正的收益率，可以列出下面的等式：

 

公式3就是从统计角度上看，策略经过“无数次”盈利和亏损交易后，能够保证策略最终盈利的最小盈亏比。公式1左侧的第1项的含义是获胜率为R，总交易次数为TR的盈利交易的总盈利，第2项的含义是失败率为（1-R），总交易次数为T（1-R）的亏损交易的总亏损。公式1的金融含义就是，符合获胜率概率水平的“无数次”盈利交易的总盈利要大于或等于符合失败概率水平的“无数次”亏损交易的总亏损。

但模拟数值分析显示，公式3给出的盈亏比，在交易策略获胜率偏低的一端，大概率情况下无法保证交易策略经过长期交易后仍然能够获得正的收益率。

造成这种现象的原因引言中已经简单提及，即由于交易信号排列方式的不同，可能导致前期失败交易的占比较大（因为获胜率很低），使得策略某个阶段累计亏损的幅度过大，因此无法在后期盈利信号正常出现时将败局扭转过来，也就是没有等到交易信号的钟摆摆回来，交易者就已经被淘汰出局了。

可见，获胜率较低情况下，为了在连续失败交易后仍然能够存活，以保证策略长期交易后仍然能够获得正收益，策略要求的最小盈亏比肯定要比公式3给出的理论最小盈亏比大一些。具体要大多少，我们放在后面与数值分析得到的数值解进行分析时一起给出。

为了文字描述的方便和清晰，本文将公式3计算得到的盈亏比称为“概率平衡盈亏比”，意思是公式3的盈亏比是通过建立概率平衡等式（公式1）得到的盈亏比。在资金量足够大（不被淘汰出局），交易次数足够多（信号分布的随机性得到保证）情况下，依据概率平衡盈亏比进行交易，从纯理论的角度看，交易者不会因破产而淘汰出局。

四、止损比例20%、建仓比例20%约束下的盈亏比经验公式

为了最终得到止损比例为常数，自变量为获胜率R和持仓比例φ的最小盈亏比通用计算公式，我们先研究止损比例和持仓比例φ均为常数，只有获胜率R为自变量的最小盈亏比公式。

约束条件

1. 信号序列编号：2
2. 止损比例：20%
3. 持仓比例：20%
4. 总交易次数：500次

在上述约束条件下，给定不同的获胜率R，通过数值计算逼近交易策略经过500次交易后到期收益率接近零值的盈亏比。这样，我们可以得到图1中的曲线。

图1中蓝色曲线，是按照公式3计算的概率平衡盈亏比随获胜率变化的曲线，橘红色曲线是依据数值计算方法反推得到的不同获胜率情况下500次交易到期时，收益率接近或正好等于零值的盈亏比曲线，笔者称其为“数值计算保本盈亏比”。从图1可见，理论推导得出的概率平衡盈亏比要比保证交易策略500次交易后收益率为零时的数值计算保本盈亏比曲线低，尤其是在获胜率偏低的左侧，偏低的幅度越来越大。

值得指出的是，图1中的R是统计学中的相关系数，不是本文正文公式中的策略实际获胜率R。考虑到笔者关于资金管理和交易策略的系列文章中，均用R表示策略的实际获胜率，现在要改成其他符号，工作量太大，改起来也容易发生混淆，因此在这里出现符号撞车现象，但两者的含义不同，特此说明。

图1：建仓比例20%情况下最小盈亏比数值解与理论解曲线

为了完美，通过简单的分析，幻想以欧拉那样伟大科学家经常莫名其妙获得美妙公式的直觉，可以将图1中橘红色曲线用下面的公式表达（下标值为建仓比例）：

 

公式4给出的盈亏比，是根据图1中公式的系数和指数，找到最小分数替代后得到的完美盈亏比公式，其中的3/5=0.6，平方得到0.36，约等于图1中的幂函数的系数0.3512（误差为2.51%），而8/5=1.6，非常接近图1中幂函数的指数1.599（误差为0.06%），这样调整后，图1中以获胜率为自变量的盈亏比拟合公式，就转换为整数表达的完美公式，故称为理想化盈亏比，以便与其他盈亏比称呼有表达上的区别。

数值分析的结果显示，理想化盈亏比曲线，稍微高出利用数值计算方法反推得到的500次交易收益为零的数值计算保本盈亏比曲线，从而能够在保证策略长期运行安全性的前提下，降低策略实现的难度（因为要保证一定的盈亏比是很难的）。

图2是概率平衡盈亏比（公式3）、理想化盈亏比（公式4）和数值计算保本盈亏比三者曲线对比图。从图中可以看出，数值计算保本盈亏比介于概率平衡盈亏比和理想化盈亏比之间，而后两个盈亏比均是理论值，这说明可以通过两个理论值的平均值，获得能够使500次交易到期收益率接近零值的盈亏比，而不用通过调整盈亏比的方式计算很多的收益率，来获取逼近收益率为零的数值计算保本盈亏比，应用起来非常方便。

为描述方便，这里定义概率平衡盈亏比和理想化盈亏比的平均值为“概率理想平均盈亏比”。这定义有点多啊，没办法，因为不这样会出现名称混乱，导致阅读困难的情况。

图2：持仓比例20%的盈亏比数值解、拟合解及理想解对比

五、止损比例20%、建仓比例30%约束下的盈亏比经验公式

约束条件：

1. 信号序列编号：2
2. 止损比例：20%
3. 持仓比例：30%（仅此不同）
4. 总交易次数：500次

用第四章同样的研究方法，我们可以得到止损比例仍然取20%，但建仓比例调高到30%的数值计算保本盈亏比和理想化盈亏比。这里我们只给出相关的图和公式，说明从简，因为方法是一样的，而且我们重点是想获得灵感后建立获胜率和建仓比例作为两个自变量的盈亏比计算公式。

图3是类似图1的图，只有持仓比例从20%调整到30%之差异。直观的感觉是，两条曲线的误差大于图1中两条曲线的误差，这说明随着建仓比例的调高，要保证策略获得正收益的真实最小盈亏比，相对概率平衡盈亏比，提高的幅度是随建仓比例的增加而增加的。

从概率平衡盈亏比公式3可以看出，盈亏比与持仓比例φ无关，但有长期交易经验的交易员都知道，这是不可能的，因为仓位的高低会影响到策略的生存周期，持仓比例φ越高，获胜率R越低，要求的盈亏比就越高，高过公式3给出的概率平衡盈亏比，以保证在连续失败信号阶段能够依据前面几次次盈利交易生存下来。

图3：建仓比例30%情况下最小盈亏比数值解与理论解曲线

同样，为了使盈亏比公式具有优美的表现结构，模仿数学大师们的手段，通过简单的分析，可以将图3中橘红色曲线用下面的公式表达（下标值为建仓比例）：

 

幂函数公式5就是持仓比例φ取30%情况下的理想化盈亏比，将公式中的系数和指数与图3中橘红色曲线拟合公式中的幂函数的系数和指数进行对比，可以发现系数3/5的平方0.36相对0.3492的误差为3.09%，指数8/3的平方根1.633与图3中橘红色公式中的指数1.636的误差为-0.18%，逼近的非常理想，而且公式中有平方有开方，3、5、8正好是斐波那契数列的第4、5、6号整数，使得公式的整体美感得到提升。

图4与图2展现的是同样的内容，不同的是图2的持仓比例φ为20%，图4的持仓比例φ为30%。仔细观察可见，图4中数值计算保本盈亏比在获胜率R横坐标的左侧虽然仍然是夹在概率平衡盈亏比和理想化盈亏比两条曲线之间，但相对图2的曲线关系，似乎更加向上靠近理想化盈亏比。这似乎暗示持仓比例φ对指数的影响更大，具体什么关系，要获得持仓比例为40%的相关曲线后才能得出结论。

图4：持仓比例30%的盈亏比数值解、拟合解及理想解对比

六、止损比例20%、建仓比例40%约束下的盈亏比经验公式

约束条件：

1. 信号序列编号：2
2. 止损比例：20%
3. 持仓比例：40%（仅此不同）
4. 总交易次数：500次

用第四章同样的研究方法，我们可以得到止损比例仍然取20%，但持仓比例φ调高到40%的数值计算保本盈亏比和理想化盈亏比。

图5是类似图1和图3的图，只有持仓比例40%不同。直观的感觉是，两条曲线的误差相比图3中两条曲线的误差更大了，证实了笔者关于盈亏比的幂函数公式中系数部分与持仓比例关系不大，但指数部分与持仓比例成某种单调增加的猜想，现在最后一步就是，判断幂函数指数与持仓比例φ是线性还是非线性的关系，并建立模型得出具体的计算公式，这样，我们就可以得到自变量为获胜率和持仓比例的盈亏比通用计算公式。

图5：建仓比例40%情况下最小盈亏比数值解与理论解曲线

同样，为了使盈亏比公式具有优美的表现结构，仍然模仿大师们的方法，通过简单的分析，可以将图5中橘红色曲线用下面的公式表达（下标值为建仓比例）：

 

幂函数公式6就是持仓比例取40%情况下的理想化盈亏比，将公式中的系数和指数与图5中橘红色曲线拟合公式中的幂函数的系数和指数进行对比，可以发现系数3/5的平方0.36相对0.3469的误差为3.78%，指数5/3之值1.667与图5中橘红色公式中的指数1.674的误差为-0.41%，逼近的也非常理想，而且公式中系数中3/5和指数中的5/3正好是倒数对称，使得公式6的美感更加悦目。

图6与图2和图4展现的是同样的内容，不同的是图2的持仓比例φ为20%，图4的持仓比例φ为30%，图6的持仓比例φ为40%。仔细观察图6可见，数值计算保本盈亏比在获胜率横坐标的左侧虽然仍然是夹在概率平衡盈亏比和理想化盈亏比两条曲线之间，但相对图2和图4的曲线关系，几乎是接近贴合在理想化盈亏比曲线上。

图6：持仓比例40%的盈亏比数值解、拟合解及理想解对比

七、获胜率R和持仓比例φ双变量盈亏比公式推导

显然，针对每个持仓比例按照上述方法推导一个自变量为获胜率的盈亏比公式不仅太过复杂，应用起来也不方便。正如量子力学诞生的推动力来自黑体辐射的研究一样，当年科学家们需要找到黑体辐射能量峰值与绝对温度T和辐射波长λ的关系，今天，我们策略研究者也希望找到保证策略长期交易获得正收益的最小盈亏比与获胜率R和持仓比例φ的关系。

在前面的研究中，我们研究了止损比例取常数20%，但持仓比例φ分别为20%（实例1）、30%（实例2）和40%（实例3）三种情况下，保证策略长期交易仍然获得正收益，且自变量为获胜率R的最小盈亏比公式。每个公式都是幂函数，其指数和系数参见表1。

我们以实例1，即持仓比例20%情况下的指数和系数作为基准，计算另外两个实例的指数和系数相对基准的变化，可以看出，指数的变化幅度较大，但系数的变化幅度很小，指数变化的幅度约为系数变化幅度的4倍。

幂函数中系数和指数随持仓比例φ的变化，本应该分析实例达到至少30个之后才能用统计的方法建立模型，但幸运的是，完成三个实例后，发现幂函数中无论是系数μ还是指数ρ，都与持仓比例φ成线性关系，其中系数μ与持仓比例φ成反比，而指数ρ与持仓比例φ成正比。

表1：三个实例中幂函数指数和系数对照表

现在我们假设自变量为获胜率R和持仓比例φ的保本盈亏比的通用公式具有下面的形式：

 

其中幂函数系数μ和指数ρ均为持仓比例φ的函数，截止到这里还不清楚函数的形式。下面以三个实例中基于数值计算保本盈亏比拟合公式中幂函数的系数和指数的值，通过散点图建立与持仓比例φ的关系式。

图7是三个实例中三条数值计算保本盈亏比曲线的拟合公式（注意不是完美处理后理想公式）的幂函数系数值μ与持仓比例φ的散点图，3个点就叫散点图不太严谨，但令人惊叹的是，3点竟然是线性关系，我的直觉是，即使计算出更多的点，也会是这种线性关系。

图7：盈亏比拟合公式中幂函数系数μ与持仓比例φ散点图

为了表达清晰，我们将图7中的y用系数符号μ代替，将图中x用持仓比例符号φ代替，得到图7中用本文标准符号表达的盈亏比拟合公式幂函数中系数的拟合公式：

 

这样我们就得到了盈亏比通用计算公式中幂函数的系数表达式9，其是持仓比例φ的线性反比函数。

用同样的方式，我们得到三个实例中数值计算保本盈亏比拟合公式中幂函数指数ρ与持仓比例φ的散点图（图8），明显可见，幂函数指数ρ与持仓比例φ成线性正比的关系，

图8：盈亏比拟合公式中幂函数指数ρ与持仓比例φ散点图

同样的道理，为了表达清晰，我们将图8中的y用指数符号ρ代替，将图中x用持仓比例符号φ代替，得到图8中用标准符号表达的盈亏比拟合公式幂函数中指数值的拟合公式：

 

这样，我们就得到保本盈亏比理想公式7中幂函数系数μ和指数ρ的代数表达式，将持仓比例φ代入，可以得到对应φ的盈亏比拟合公式之幂函数系数μ和指数ρ，代入公式7，再选定具体的获胜率R代入公式7，就可以计算出对应持仓比例φ和获胜率R情况下的保本盈亏比。

得到盈亏比通用公式7后，我们可以计算出不同获胜率和不同持仓比例组合确定的盈亏比，与其他盈亏比进行对照，以便看下通用公式的拟合完美度。

图9是止损比例20%、持仓比例20%约束下，利用双变量盈亏比通用计算公式计算的盈亏比随获胜率变化的曲线，从该图可以看出，用双变量通用盈亏比公式计算得到的盈亏比曲线，与理想化盈亏比曲线吻合度非常高。当然，这是样本内的计算结果，以后的补充文章会用样本外，也就是持仓比例取其他值时，评估下所计算的盈亏比随意用在任何一组信号序列情况下，最终的交易结果是否接近为零值。

图9：持仓比例20%之双变量盈亏比曲线

图10是止损比例取20%、持仓比例φ=30%约束下，利用双变量盈亏比通用计算公式计算的盈亏比随获胜率R变化的曲线，图11是止损比例取20%、持仓比例φ=40%约束下，利用双变量盈亏比通用计算公式计算的盈亏比随获胜率变化的曲线。从图9-11可见，虽然我们利用的是样本内数据计算的双变量盈亏比曲线，但曲线与理想化盈亏比曲线的吻合度还是让我吃惊。

图10：持仓比例30%之双变量盈亏比曲线

图11：持仓比例40%之双变量盈亏比曲线

八、止损比例20%、持仓比例35%随获胜率变化之双变量盈亏比

前面推导得到在特定止损比例20%约束下的通用盈亏比计算公式7。接下来，我们就可以选择持仓比例在20%、30%和40%之外（因为这三个是样本数据）的持仓比例φ，并任选一个获胜率R，双双代入双变量盈亏比通用计算公式7，计算出一个特定盈亏比，这个特定盈亏比应用于任何实际获胜率接近选定获胜率水平的信号序列，应该都能保证交易策略经过“无数次”交易后，到期收益率接近零值，而不会出现破产的结果。

1. 信号序列编号：12
2. 止损比例：20%
3. 持仓比例：35%（仅此不同）
4. 总交易次数：500次
5. 盈亏比模型：双变量保本盈亏比

我们前面分析建模时，信号序列的编号为2，持仓比例分别取20%、30%和40%，这里我们取编号12的信号序列，持仓比例取35%，然后按照双变量保本盈亏比公式计算对应的盈亏比（持仓比例不变，获胜率在变），得到图12。

从图12可见，在获胜率R小于20%和大于52%的情况下，到期收益率都很高，似乎与双变量盈亏比推导的期望目标有较大的背离。这个现象，是因为前面无论是哪种经验模型盈亏比，在获胜率15-60%范围的两端，所计算的盈亏比都偏大，从而导致实际运行时，到期收益率不仅没有逼近零值，反而因为盈亏比对收益率影响非常灵敏，到期收益相当可观。

值得指出的是，图中的双变量盈亏比均是依据持仓比例φ=35%以及图中对应的获胜率两个变量计算得到的。由于在我们的分析中，三个例子的持仓比例分别为20%、30%和40%，因此这里用持仓比例φ=35%之样本外持仓比例进行分析是可以接受的，但进一步的分析显示，如果持仓比例偏离上述范围较大，要增加一个系数调整因子，该因子是持仓比例φ的函数（简单测试了几个点，似乎是线性函数）。

考虑到本文篇幅和读者阅读长文的耐性，系数调整因子的分析内容，笔者放在其他文章中进行补充分析。

图12：止损20%、持仓比例35%双变量盈亏比及到期收益率曲

图13是止损比例20%、持仓比例φ=20%情况下，双变量盈亏比与数值计算保本盈亏比之差随获胜率变化的曲线。

从该图可见，盈亏比差值数据在图两端均为正值，说明双变量盈亏比大于数值计算保本盈亏比，而在中间段，感觉两条盈亏比曲线似乎贴得很近，其实双变量盈亏比要比数值计算保本盈亏比的值小些，偏离的最大幅度约为-6.85%（对应差值为-0.1569），从而导致获胜率28-47%之间的到期收益率有较大的亏损，幸运的是，虽然亏损较大，但没有被淘汰出局。这样看来，双变量盈亏比叫“避免破产之双变量盈亏比”可能更合适。

图13：持仓比例20%双变量盈亏比与数值计算保本盈亏比之差值

为了保证策略投入运行前，有一个判断盈亏比最小值的可靠标准，可以对图13中差值曲线建模，然后将差值建模公式，加负号叠加到盈亏比通用计算公式7中，但这样一来，原来通用公式7的完美形式就被破坏了，感觉有点遗憾，除非差值拟合公式也能找到完美的表达形式。

结论和思考

推导双变量盈亏比的目的，是为了获得一个判断策略运行安全性可以接受的最小盈亏比，某个策略是否能够经得起长期交易的考验，其实战盈亏比至少要大于该最小盈亏比。如果低于该最小盈亏比，风控的思路是，建议投资部门，要么将持仓比例调低，要么进一步测试调高获胜率（即调整止损比例），以保证策略长期运行的安全性。

模拟测试显示，如果持仓比例介于20-40%之间，并引入误差校正经验公式，则利用双变量盈亏比公式7计算的盈亏比虽然不能保证长期交易后，收益率必定为正值（因为信号序列的组合模式千变万化），但即使亏损，幅度也会在接近零值的较小误差之内，从而可以保证即使经历了“无数次”交易，哪怕是应用在各种各样的品种上，交易者仍然能够在市场中生存下去。

由于本文篇幅较大，误差校正公式的推导只能放在以后的文章中介绍，读者也可以按照这个思路，自己建模测试。比如说固定自己习惯的持仓比例，构建双变量为止损比例和获胜率的双变量盈亏比公式。