红黑树底层原理及Linux内核红黑树算法深度研究
2021-06-24 Linux天神
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1. 红黑树
1.1 红黑树概述
红黑树和我们以前学过的AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。不过自从红黑树出来后，AVL树就被放到了博物馆里，据说是红黑树有更好的效率，更高的统计性能。这一点在我们了解了红黑树的实现原理后，就会有更加深切的体会。
红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。学过数据结构的人应该都已经领教过AVL树的复杂，但AVL树的复杂比起红黑树来说简直是小巫见大巫，红黑树才是真正的变态级数据结构。
由于STL中的关联式容器默认的底层实现都是红黑树，因此红黑树对于后续学习STL源码还是很重要的，有必要掌握红黑树的实现原理和源码实现。
红黑树是AVL树的变种，红黑树通过一些着色法则确保没有一条路径会比其它路径长出两倍，因而达到接近平衡的目的。所谓红黑树，不仅是一个二叉搜索树，而且必须满足一下规则：
- 1、每个节点不是红色就是黑色。
- 2、根节点为黑色。
- 3、如果节点为红色，其子节点必须为黑色。
- 4、任意一个节点到到NULL（树尾端）的任何路径，所含之黑色节点数必须相同。
上面的这些约束保证了这个树大致上是平衡的，这也决定了红黑树的插入、删除、查询等操作是比较快速的。 根据规则4，新增节点必须为红色；根据规则3，新增节点之父节点必须为黑色。当新增节点根据二叉搜索树的规则到达其插入点时，却未能符合上述条件时，就必须调整颜色并旋转树形，如下图：
假设我们为上图分别插入节点3、8、35、75，根据二叉搜索树的规则，插入这四个节点后，我们会发现它们都破坏了红黑树的规则，因此我们必须调整树形，也就是旋转树形并改变节点的颜色。
1.2 红黑树上结点的插入
在讨论红黑树的插入操作之前必须要明白，任何一个即将插入的新结点的初始颜色都为红色。这一点很容易理解，因为插入黑点会增加某条路径上黑结点的数目，从而导致整棵树黑高度的不平衡。但如果新结点的父结点为红色时（如下图所示），将会违反红黑树的性质：一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。这时就需要通过一系列操作来使红黑树保持平衡。
为了清楚地表示插入操作以下在结点中使用“新”字表示一个新插入的结点；使用“父”字表示新插入点的父结点；使用“叔”字表示“父”结点的兄弟结点；使用“祖”字表示“父”结点的父结点。插入操作分为以下几种情况：
1.2.1 黑父
如下图所示，如果新节点的父结点为黑色结点，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡，此时插入操作完成。红黑树比AVL树优秀的地方之一在于黑父的情况比较常见，从而使红黑树需要旋转的几率相对AVL树来说会少一些。
1.2.2 红父
如果新节点的父结点为红色，这时就需要进行一系列操作以保证整棵树红黑性质。如下图所示，由于父结点为红色，此时可以判定，祖父结点必定为黑色。这时需要根据叔父结点的颜色来决定做什么样的操作。青色结点表示颜色未知。由于有可能需要根结点到新点的路径上进行多次旋转操作，而每次进行不平衡判断的起始点（我们可将其视为新点）都不一样。所以我们在此使用一个蓝色箭头指向这个起始点，并称之为判定点。
1.2.2.1 红叔
当叔父结点为红色时，如下图所示，无需进行旋转操作，只要将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色即可。但由于祖父结点的父结点有可能为红色，从而违反红黑树性质。此时必须将祖父结点作为新的判定点继续向上（迭代）进行平衡操作。
需要注意的是，无论“父节点”在“叔节点”的左边还是右边，无论“新节点”是“父节点”的左孩子还是右孩子，它们的操作都是完全一样的（其实这种情况包括4种，只需调整颜色，不需要旋转树形）。
1.2.2.2 黑叔
当叔父结点为黑色时，需要进行旋转，以下图示了所有的旋转可能：
Case 1:
Case 2:
Case 3:
Case 4:
可以观察到，当旋转完成后，新的旋转根全部为黑色，此时不需要再向上回溯进行平衡操作，插入操作完成。需要注意，上面四张图的“叔”、“1”、“2”、“3”结点有可能为黑哨兵结点。
其实红黑树的插入操作不是很难，甚至比AVL树的插入操作还更简单些。红黑树的插入操作源代码如下：
// 元素插入操作 insert_unique()
// 插入新值：节点键值不允许重复，若重复则插入无效
// 注意，返回值是个pair，第一个元素是个红黑树迭代器，指向新增节点
// 第二个元素表示插入成功与否
template<class Key , class Value , class KeyOfValue , class Compare , class Alloc>
pair<typename rb_tree<Key , Value , KeyOfValue , Compare , Alloc>::iterator , bool>
rb_tree<Key , Value , KeyOfValue , Compare , Alloc>::insert_unique(const Value &v)
{
rb_tree_node* y = header; // 根节点root的父节点
rb_tree_node* x = root(); // 从根节点开始
bool comp = true;
while(x != 0)
{
y = x;
comp = key_compare(KeyOfValue()(v) , key(x)); // v键值小于目前节点之键值？
x = comp ? left(x) : right(x); // 遇“大”则往左，遇“小于或等于”则往右
}
// 离开while循环之后，y所指即插入点之父节点（此时的它必为叶节点）
iterator j = iterator(y); // 令迭代器j指向插入点之父节点y
if(comp) // 如果离开while循环时comp为真（表示遇“大”，将插入于左侧）
{
if(j == begin()) // 如果插入点之父节点为最左节点
return pair<iterator , bool>(_insert(x , y , z) , true);
else // 否则（插入点之父节点不为最左节点）
--j; // 调整j，回头准备测试
}
if(key_compare(key(j.node) , KeyOfValue()(v) ))
// 新键值不与既有节点之键值重复，于是以下执行安插操作
return pair<iterator , bool>(_insert(x , y , z) , true);
// 以上，x为新值插入点，y为插入点之父节点，v为新值
// 进行至此，表示新值一定与树中键值重复，那么就不应该插入新值
return pair<iterator , bool>(j , false);
}
// 真正地插入执行程序 _insert()
template<class Key , class Value , class KeyOfValue , class Compare , class Alloc>
typename<Key , Value , KeyOfValue , Compare , Alloc>::_insert(base_ptr x_ , base_ptr y_ , const Value &v)
{
// 参数x_ 为新值插入点，参数y_为插入点之父节点，参数v为新值
link_type x = (link_type) x_;
link_type y = (link_type) y_;
link_type z;
// key_compare 是键值大小比较准则。应该会是个function object
if(y == header || x != 0 || key_compare(KeyOfValue()(v) , key(y) ))
{
z = create_node(v); // 产生一个新节点
left(y) = z; // 这使得当y即为header时，leftmost() = z
if(y == header)
{
root() = z;
rightmost() = z;
}
else if(y == leftmost()) // 如果y为最左节点
leftmost() = z; // 维护leftmost()，使它永远指向最左节点
}
else
{
z = create_node(v); // 产生一个新节点
right(y) = z; // 令新节点成为插入点之父节点y的右子节点
if(y == rightmost())
rightmost() = z; // 维护rightmost()，使它永远指向最右节点
}
parent(z) = y; // 设定新节点的父节点
left(z) = 0; // 设定新节点的左子节点
right(z) = 0; // 设定新节点的右子节点
// 新节点的颜色将在_rb_tree_rebalance()设定（并调整）
_rb_tree_rebalance(z , header->parent); // 参数一为新增节点，参数二为根节点root
++node_count; // 节点数累加
return iterator(z); // 返回一个迭代器，指向新增节点
}
// 全局函数
// 重新令树形平衡（改变颜色及旋转树形）
// 参数一为新增节点，参数二为根节点root
inline void _rb_tree_rebalance(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
x->color = _rb_tree_red; //新节点必为红
while(x != root && x->parent->color == _rb_tree_red) // 父节点为红
{
if(x->parent == x->parent->parent->left) // 父节点为祖父节点之左子节点
{
_rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->right; // 令y为伯父节点
if(y && y->color == _rb_tree_red) // 伯父节点存在，且为红
{
x->parent->color = _rb_tree_black; // 更改父节点为黑色
y->color = _rb_tree_black; // 更改伯父节点为黑色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red; // 更改祖父节点为红色
x = x->parent->parent;
}
else // 无伯父节点，或伯父节点为黑色
{
if(x == x->parent->right) // 如果新节点为父节点之右子节点
{
x = x->parent;
_rb_tree_rotate_left(x , root); // 第一个参数为左旋点
}
x->parent->color = _rb_tree_black; // 改变颜色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
_rb_tree_rotate_right(x->parent->parent , root); // 第一个参数为右旋点
}
}
else // 父节点为祖父节点之右子节点
{
_rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->left; // 令y为伯父节点
if(y && y->color == _rb_tree_red) // 有伯父节点，且为红
{
x->parent->color = _rb_tree_black; // 更改父节点为黑色
y->color = _rb_tree_black; // 更改伯父节点为黑色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red; // 更改祖父节点为红色
x = x->parent->parent; // 准备继续往上层检查
}
else // 无伯父节点，或伯父节点为黑色
{
if(x == x->parent->left) // 如果新节点为父节点之左子节点
{
x = x->parent;
_rb_tree_rotate_right(x , root); // 第一个参数为右旋点
}
x->parent->color = _rb_tree_black; // 改变颜色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
_rb_tree_rotate_left(x->parent->parent , root); // 第一个参数为左旋点
}
}
}//while
root->color = _rb_tree_black; // 根节点永远为黑色
}
// 左旋函数
inline void _rb_tree_rotate_left(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
// x 为旋转点
_rb_tree_node_base* y = x->right; // 令y为旋转点的右子节点
x->right = y->left;
if(y->left != 0)
y->left->parent = x; // 别忘了回马枪设定父节点
y->parent = x->parent;
// 令y完全顶替x的地位（必须将x对其父节点的关系完全接收过来）
if(x == root) // x为根节点
root = y;
else if(x == x->parent->left) // x为其父节点的左子节点
x->parent->left = y;
else // x为其父节点的右子节点
x->parent->right = y;
y->left = x;
x->parent = y;
}
// 右旋函数
inline void _rb_tree_rotate_right(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
// x 为旋转点
_rb_tree_node_base* y = x->left; // 令y为旋转点的左子节点
x->left = y->right;
if(y->right != 0)
y->right->parent = x; // 别忘了回马枪设定父节点
y->parent = x->parent;
// 令y完全顶替x的地位（必须将x对其父节点的关系完全接收过来）
if(x == root)
root = y;
else if(x == x->parent->right) // x为其父节点的右子节点
x->parent->right = y;
else // x为其父节点的左子节点
x->parent->left = y;
y->right = x;
x->parent = y;
}
2. 红黑树
linux内核红黑树的算法都定义在
linux-2.6.38.8/include/linux/rbtree.h和linux-2.6.38.8/lib/rbtree.c两个文件中。
2.1 结构体
红黑树和我们以
struct rb_node
{
unsigned long rb_parent_color;
#define RB_RED 0
#define RB_BLACK 1
struct rb_node *rb_right;
struct rb_node *rb_left;
} __attribute__((aligned(sizeof(long))));
这里的巧妙之处是使用成员rb_parent_color同时存储两种数据，一是其双亲结点的地址，另一是此结点的着色。__attribute__((aligned(sizeof(long))))属性保证了红黑树中的每个结点的首地址都是32位对齐的（在32位机上），也就是说每个结点首地址的bit[1]和bit[0]都是0，因此就可以使用bit[0]来存储结点的颜色属性而不干扰到其双亲结点首地址的存储。
操作rb_parent_color的函数：
#define rb_parent(r) ((struct rb_node *)((r)->rb_parent_color & ~3)) //获得其双亲结点的首地址
#define rb_color(r) ((r)->rb_parent_color & 1) //获得颜色属性
#define rb_is_red(r) (!rb_color(r)) //判断颜色属性是否为红
#define rb_is_black(r) rb_color(r) //判断颜色属性是否为黑
#define rb_set_red(r) do { (r)->rb_parent_color &= ~1; } while (0) //设置红色属性
#define rb_set_black(r) do { (r)->rb_parent_color |= 1; } while (0) //设置黑色属性
static inline void rb_set_parent(struct rb_node *rb, struct rb_node *p) //设置其双亲结点首地址的函数
{
rb->rb_parent_color = (rb->rb_parent_color & 3) | (unsigned long)p;
}
static inline void rb_set_color(struct rb_node *rb, int color) //设置结点颜色属性的函数
{
rb->rb_parent_color = (rb->rb_parent_color & ~1) | color;
}
初始化新结点：
static inline void rb_link_node(struct rb_node * node, struct rb_node * parent,
struct rb_node ** rb_link)
{
node->rb_parent_color = (unsigned long )parent; //设置其双亲结点的首地址(根结点的双亲结点为NULL),且颜色属性设为黑色
node->rb_left = node->rb_right = NULL; //初始化新结点的左右子树
*rb_link = node; //指向新结点
}
指向红黑树根结点的指针：
struct rb_root
{
struct rb_node *rb_node;
};
#define RB_ROOT (struct rb_root) { NULL, } //初始化指向红黑树根结点的指针
#define rb_entry(ptr, type, member) container_of(ptr, type, member) //用来获得包含struct rb_node的结构体的首地址
#define RB_EMPTY_ROOT(root) ((root)->rb_node == NULL) //判断树是否为空
#define RB_EMPTY_NODE(node) (rb_parent(node) == node) //判断node的双亲结点是否为自身
#define RB_CLEAR_NODE(node) (rb_set_parent(node, node)) //设置双亲结点为自身
2.2 插入
首先像二叉查找树一样插入一个新结点，然后根据情况作出相应的调整，以使其满足红黑树的颜色属性（其实质是维持红黑树的平衡）。
函数rb_insert_color使用while循环不断地判断双亲结点是否存在，且颜色属性为红色。
若判断条件为真，则分成两部分执行后续的操作：
（1）、当双亲结点是祖父结点左子树的根时，则：
a、存在叔父结点，且颜色属性为红色。
b、当node是其双亲结点右子树的根时，则左旋，然后执行第c步。
c、当node是其双亲结点左子树的根时。
（2）当双亲结点是祖父结点右子树的根时的操作与第（1）步大致相同，这里略过不谈。
若为假，则始终设置根结点的颜色属性为黑色。
void rb_insert_color(struct rb_node *node, struct rb_root *root)
{
struct rb_node *parent, *gparent;
while ((parent = rb_parent(node)) && rb_is_red(parent)) //双亲结点不为NULL，且颜色属性为红色
{
gparent = rb_parent(parent); //获得祖父结点
if (parent == gparent->rb_left) //双亲结点是祖父结点左子树的根
{
{
register struct rb_node *uncle = gparent->rb_right; //获得叔父结点
if (uncle && rb_is_red(uncle)) //叔父结点存在，且颜色属性为红色
{
rb_set_black(uncle); //设置叔父结点为黑色
rb_set_black(parent); //设置双亲结点为黑色
rb_set_red(gparent); //设置祖父结点为红色
node = gparent; //node指向祖父结点
continue; //继续下一个while循环
}
}
if (parent->rb_right == node) //当node是其双亲结点右子树的根时
{
register struct rb_node *tmp;
__rb_rotate_left(parent, root); //左旋
tmp = parent; //调整parent和node指针的指向
parent = node;
node = tmp;
}
rb_set_black(parent); //设置双亲结点为黑色
rb_set_red(gparent); //设置祖父结点为红色
__rb_rotate_right(gparent, root); //右旋
} else { // !(parent == gparent->rb_left)
{
register struct rb_node *uncle = gparent->rb_left;
if (uncle && rb_is_red(uncle))
{
rb_set_black(uncle);
rb_set_black(parent);
rb_set_red(gparent);
node = gparent;
continue;
}
}
if (parent->rb_left == node)
{
register struct rb_node *tmp;
__rb_rotate_right(parent, root);
tmp = parent;
parent = node;
node = tmp;
}
rb_set_black(parent);
rb_set_red(gparent);
__rb_rotate_left(gparent, root);
} //end if (parent == gparent->rb_left)
} //end while ((parent = rb_parent(node)) && rb_is_red(parent))
rb_set_black(root->rb_node);
}
2.3 删除
像二叉查找树的删除操作一样，首先需要找到所需删除的结点，然后根据该结点左右子树的有无分为三种情形：
若node结点的颜色属性为黑色，则需要调用__rb_erase_color函数来进行调整。
void rb_erase(struct rb_node *node, struct rb_root *root)
{
struct rb_node *child, *parent;
int color;
if (!node->rb_left) //删除结点无左子树
child = node->rb_right;
else if (!node->rb_right) //删除结点无右子树
child = node->rb_left;
else //左右子树都有
{
struct rb_node *old = node, *left;
node = node->rb_right;
while ((left = node->rb_left) != NULL)
node = left;
if (rb_parent(old)) {
if (rb_parent(old)->rb_left == old)
rb_parent(old)->rb_left = node;
else
rb_parent(old)->rb_right = node;
} else
root->rb_node = node;
child = node->rb_right;
parent = rb_parent(node);
color = rb_color(node);
if (parent == old) {
parent = node;
} else {
if (child)
rb_set_parent(child, parent);
parent->rb_left = child;
node->rb_right = old->rb_right;
rb_set_parent(old->rb_right, node);
}
node->rb_parent_color = old->rb_parent_color;
node->rb_left = old->rb_left;
rb_set_parent(old->rb_left, node);
goto color;
} //end else
parent = rb_parent(node); //获得删除结点的双亲结点
color = rb_color(node); //获取删除结点的颜色属性
if (child)
rb_set_parent(child, parent);
if (parent)
{
if (parent->rb_left == node)
parent->rb_left = child;
else
parent->rb_right = child;
}
else
root->rb_node = child;
color:
if (color == RB_BLACK) //如果删除结点的颜色属性为黑色，则需调用__rb_erase_color函数来进行调整
__rb_erase_color(child, parent, root);
}
2.4 遍历
rb_first和rb_next函数可组成中序遍历，即以升序遍历红黑树中的所有结点。
struct rb_node *rb_first(const struct rb_root *root)
{
struct rb_node *n;
n = root->rb_node;
if (!n)
return NULL;
while (n->rb_left)
n = n->rb_left;
return n;
}
struct rb_node *rb_next(const struct rb_node *node)
{
struct rb_node *parent;
if (rb_parent(node) == node)
return NULL;
/* If we have a right-hand child, go down and then left as far
as we can. */
if (node->rb_right) {
node = node->rb_right;
while (node->rb_left)
node=node->rb_left;
return (struct rb_node *)node;
}
/* No right-hand children. Everything down and left is
smaller than us, so any 'next' node must be in the general
direction of our parent. Go up the tree; any time the
ancestor is a right-hand child of its parent, keep going
up. First time it's a left-hand child of its parent, said
parent is our 'next' node. */
while ((parent = rb_parent(node)) && node == parent->rb_right)
node = parent;
return parent;
}
