比RSA加密更快更安全的加密算法ECC
前几天我发表一片关于RSA的加密算法，很多人留言让我讲解一下ECC 椭圆加密算法。首先我在这里声明一下 椭圆加密算法不像RSA 用中学的数学知识就可以解决。本文中也是参考了网上的很多资料，
椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。
椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。
椭圆曲线
一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。
例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为:
该椭圆曲线E的图像如图X-1所示，可以看出根本就不是椭圆形。
定义椭圆曲线的运算规则
加法
过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C
二倍运算
上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。
正负取反
将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：
无穷远点
如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。
综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。
有限域上的椭圆曲线运算
椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。
假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作： y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)
此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：
(0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11) (7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) 等等。
另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。
计算xG
相关公式如下： 有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：
Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）
因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：
计算2G： λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12 Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6 Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19 即2G为点(6,19)
计算3G： 3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19) λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3 Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3 Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13 即3G为点(3, 13)
椭圆曲线加解密算法原理
建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥，xG即为公钥。
椭圆曲线加密算法原理如下：
设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。
公钥加密： 选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即： C = {rG, M+rK}，其中K为公钥
私钥解密： M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M 其中k、K分别为私钥、公钥。
椭圆曲线签名算法原理
椭圆曲线签名算法，即ECDSA。 设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。
私钥签名： 1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。 2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。 3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。
公钥验证签名： 1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。 2、根据消息求哈希h。 3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。
原理如下： hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s = r(h+xk)G / (h+kx) = rG
签名过程
假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要。不同的签名算法使用不同的消息摘要算法。而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。
摘要生成结束后，应用签名算法对摘要进行签名：
产生一个随机数k
利用随机数k，计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名。
这里需要注意的是，因为随机数k的存在，对于同一条消息，使用同一个算法，产生的签名是不一样的。从函数的角度来理解，签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。
验证过程
关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出r和s，然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同，则表示验证成功。否则，表示验证失败。
这个是网上ecc 的demo
# -*- coding:utf-8 -*-
def get_inverse(value, p):
"""
求逆元
:param value: 待求逆元的值
:param p: 模数
"""
for i in range(1, p):
if (i * value) % p == 1:
return i
return -1
def get_gcd(value1, value2):
"""
辗转相除法求最大公约数
:param value1:
:param value2:
"""
if value2 == 0:
return value1
else:
return get_gcd(value2, value1 % value2)
def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p):
"""
计算P+Q
:param x1: P点横坐标
:param y1: P点纵坐标
:param x2: Q点横坐标
:param y2: Q点纵坐标
:param a: 曲线参数
:param p: 曲线模数
"""
flag = 1 # 定义符号位(+/-)
# 如果P=Q，斜率k=(3x^2+a)/2y mod p
if x1 == x2 and y1 == y2:
member = 3 * (x1 ** 2) + a # 分子
denominator = 2 * y1 # 分母
# 如果P≠Q， 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p
else:
member = y2 - y1
denominator = x2 - x1
if member * denominator < 0:
flag = 0 # 表示负数
member = abs(member)
denominator = abs(denominator)
# 化简分子分母
gcd = get_gcd(member, denominator) # 最大公约数
member = member // gcd
denominator = denominator // gcd
# 求分母的逆元
inverse_deno = get_inverse(denominator, p)
# 求斜率
k = (member * inverse_deno)
if flag == 0:
k = -k
k = k % p
# 计算P+Q=(x3,y3)
x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % p
y3 = (k * (x1-x3) -y1) % p
return x3, y3
def get_order(x0, y0, a, b, p):
"""
计算椭圆曲线的阶
"""
x1 = x0 # -P的横坐标
y1 = (-1 * y0) % p # -P的纵坐标
temp_x = x0
temp_y = y0
n = 1
while True:
n += 1
# 累加P,得到n*P=0∞
xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p)
# 如果(xp,yp)==-P，即(xp,yp)+P=0∞，此时n+1为阶数
if xp == x1 and yp == y1:
return n+1
temp_x = xp
temp_y = yp
def get_dot(x0, a, b, p):
"""
计算P和-P
"""
y0 = -1
for i in range(p):
# 满足适合加密的椭圆曲线条件，Ep(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1]
if i**2 % p == (x0**3 + a*x0 + b) % p:
y0 = i
break
# 如果找不到合适的y0返回False
if y0 == -1:
return False
# 计算-y
x1 = x0
y1 = (-1*y0) % p
return x0, y0, x1, y1
def get_graph(a, b, p):
"""
画出椭圆曲线散点图
"""
xy = []
# 初始化二维数组
for i in range(p):
xy.Append(['-' for i in range(p)])
for i in range(p):
value = get_dot(i, a, b, p)
if (value != False):
x0,y0,x1,y1 = value
xy[x0][y0] = 1
xy[x1][y1] = 1
print('椭圆曲线散点图：')
for i in range(p):
temp = p - 1 -i
if temp >= 10:
print(temp, end='')
else:
print(temp, end='')
# 输出具体坐标值
for j in range(p):
print(xy[j][temp], end='')
print()
print(' ', end='')
for i in range(p):
if i >= 10:
print(i, end='')
else:
print(i, end='')
print()
def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p):
"""
计算nG
"""
temp_x = xG
temp_y = yG
while priv_key != 1:
temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p)
priv_key -= 1
return temp_x, temp_y
def get_KEY():
"""
生成公钥私钥
"""
# 选择曲线方程
while True:
a = int(input('输入椭圆曲线参数a（a>0）的值：'))
b = int(input('输入椭圆曲线参数b（b>0）的值：'))
p = int(input('输入椭圆曲线参数p（p为素数）的值：'))
# 满足曲线判别式
if (4*(a**3)+27*(b**2))%p == 0:
print('输入的参数有误，请重新输入！n')
else:
break
# 输出曲线散点图
get_graph(a, b, p)
# 选择基点G
print('在上图坐标系中选择基点G的坐标')
xG = int(input('横坐标xG：'))
yG = int(input('纵坐标yG：'))
# 获取曲线的阶
n = get_order(xG, yG, a, b, p)
# 生成私钥key，且key<n
priv_key = int(input('输入私钥key(<%d)：'%n))
#生成公钥KEY
xK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)
return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG
def encrypt(xG, yG, xK, yK,priv_key, a, p, n):
"""
加密
"""
k = int(input('输入一个整数k(<%d)用于计算kG和kQ：' % n))
kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p) # kG
kQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p) # kQ
plain = input('输入需要加密的字符串：')
plain = plain.strip()
c = []
print('密文为：', end='')
for char in plain:
intchar = ord(char)
cipher = intchar * kQx
c.append([kGx, kGy, cipher])
print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ')
print()
return c
def decrypt(c, priv_key, a, p):
"""
解密
"""
for charArr in c:
kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p)
print(chr(charArr[2] // kQx), end='')
print()
if __name__ == '__main__':
xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY()
c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n)
decrypt(c, priv_key, a, p)
由于本人水平有限，文章出现纰漏，还请大佬们斧正。
