今天码哥给大家带来一种数据备份与修复的技术——里德所罗门编码。

里德所罗门编码可是应用场景很多，例如我们耳熟能详的RAID（磁盘阵列），又例如在UDP传输中降低丢包导致的数据缺失的情况等等。

什么是里德所罗门编码

这里，先要介绍一种纠错方法——极大距离可分法（MDS）。这是一种很常见的纠错方法，它将原始数据分成等长的N份，并根据这N份数据生成M个冗余的校验数据。此时，M+N块数据中任意M块数据损失，也可以通过剩余N块数据经过计算来恢复原始数据。

里德所罗门纠错算法就是经典的MDS算法。

里德所罗门编码的理论基础

• 范德蒙矩阵

 

• 有限域算法
  • 伽罗华域

这里我们那先不过多解释，大家先对矩阵型形式混个脸熟，至于伽罗华域我们后面会说到。

里德所罗门编码的原理

在开始前，我们不得不引入一个数学问题——插值问题。

在一些工程实践中，某些变量间是存在函数关系的，但通常不能用公式表示，只能用实验观测得到y=f(x)，即一系列xi在函数上的值。有些公式非常复杂，计算其完整公式并不划算，因此我们希望用另一个函数p(x)来尝试逼近f(x)。

此时，假设在二维空间中有n个点，(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，希望得到一个多项式的解：

 

这个多项式可以满足我们的当前条件：

 

实际上，可以推演如下：

 

可以看到矩阵A即为范德蒙矩阵，而如果每个点的x值互不相同，那么范德蒙矩阵的行列式值必不为零（略过证明），那么矩阵A就存在逆矩阵。

由此，我们那可以看到，通过对插值问题的讨论，我们发现了一种数据恢复方式，即：

矩阵A * 矩阵B = 矩阵Y

矩阵A的你矩阵 * 矩阵Y = 矩阵B

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下面，我们来说一下在里德所罗门编码中如何进行的编解码的。

例如，我有两段数据：

data = [
  [1,2,3,4],
  [5,6,7,8]
]

下面是构建系数矩阵A，A的构建方式是，上方为一单位矩阵，下方是范德蒙矩阵，且：

1. 单位矩阵的行数与数据矩阵的行数一致，本例中为两行。
2. 范德蒙矩阵的行数与冗余数据个数保持一致，本例中为一行。并且每行中的ai为前一行的值加1，首行的a1为1。

那么构建出的系数矩阵A为：

A = [
  [1, 0],
  [0, 1],
  [1, 1]
]

编码即为矩阵乘法，得到的结果为：

result = data * A = [
  [1,2,3,4],
  [5,6,7,8],
  [6,8,10,12]
]

可以看到，前两行与原始数据一样，最后一行则是冗余数据。

下面，我们来模拟解码过程，假设我们丢失了第二个数据[5,6,7,8]，那么恢复过程如下：

首先，构建系数矩阵A'：

A' = [
  [1, 0],
  [1, 1]
]

可以看到，我们跳过了[0, 1]，是因为该行对应的数据丢失了，因此构建时也要相应去掉。

然后我们要对A'求逆，得到A''：

A'' = [
  [1, 0],
  [-1, 1]
]

最后，利用矩阵乘法恢复原始数据：

data = A'' * B = [
  [1,2,3,4],
  [5,6,7,8]
]

到此，似乎已经完成了数据丢失后的恢复，但细心的读者可能发现了，在计算逆矩阵的时候可能会存在小数，会造成精度损失，因此，恢复后的数据会和原始数据不一致。

这就是我们接下来要介绍的，数域的作用。

伽罗华域

为了避免矩阵运算中出现小数导致的精度损失，我们要将整个矩阵运算从实数域迁移到伽罗华域中。

伽罗华域是一种有限数域，其值范围为[0, 2^8-1]，即0~255。

那么如何进行迁移呢？答案很简单，我们将矩阵中用到的加减乘除四则运算进行一些变换。

在伽罗华域中：

1. 加法 a + b：被转换为实数域内的异或运算，即 a ^ b。
2. 减法 a - b：同样是异或运算 a ^ b。
3. 乘法 a * b：ilog((log(a)+log(b))%255)，其中ilog为反对数运算，log为对数运算。伽罗华域上的对数与反对数运算结果在网上是有归纳总结的，可以直接查表获取，因此运算速度会非常快。
4. 除法 a / b：如果a小于b，则结果为 c = ilog(255 - log(a) - log(b))；否则，c = ilog(log(a) - log(b))。

由于本篇为纯理论类文章，涉及较多数学概念，如有纰漏还望告知，感谢您的观看！