常见的排序算法：

• 快速排序、堆排序、归并排序、选择排序
• 插入排序、二分插入排序
• 冒泡排序、鸡尾酒排序
• 桶排序、计数排序、基数排序、位图排序

一、快速排序

通过一趟排序将待排记录分割成独立的A、B两部分，A部分全部小于基准值，B部分全部大于基准值。然后在对两部分做相同的处理，已完成排序的功能。

算法描述与分析

1. 从数列中挑选一个元素，作为基准值， pivot;
2. 便利排序数列，比基准值小的放在左边A，大的放在右边B（相同的放在任意一边）。待分组完成后基准值就处于A、B的中间位置。 这个过程称为分区(partition)操作，两种实现方式具体实现见代码
3. 递归排序A、B两部分，重复上面1 2两步，进行排序。

 

复杂度

时间复杂度:

A. o(nlogn)* : 将数组分解为一些列小问题进行独立解决，上述的过程重复logn次得到有序的序列； 每次都需要对n个进行一次处理，所以时间复杂度为 n*logn

B. o(n^2）: 固定选择第一个元素做基准值，对倒序数组进行正序排列；每次划分只得到一个比上一次划分少一个记录的子序列，每次只排一个。相当于向后冒泡排序，所以时间复杂度为o(n^2)

空间复杂度：

额外使用的空间需要看具体的代码实现，理论上最优情况下空间复杂度为o(1)，只是用一个交换空间； 如果考虑递归的实现逻辑则复杂度为 o(logn) 。

代码实现

教科书式实现：

//普通方法实现
function quick_sort( &$arr, $left, $right ){
 if( $left < $right){
 //取基准值，取最左边的一个元素
 $pivot = $arr[$left];
 //随机取基准值 - 避免对倒序数组进行正序排序时，时间复杂度 O(n^2)的情况
 // $k = rand($left, $right);
 // swap($arr, $left, $k);
 // $pivot = $arr[$left];
 $i = $left; $j = $right;
 //一趟排序比较
 while($i < $j){
 //基准值从左边选取的，所以先从右侧开始比较；反之亦然。(注)
 while( $arr[$j] >= $pivot && $j > $i){
 $j--;
 }
 swap($arr, $i, $j);
 while( $arr[$i] < $pivot && $i < $j ){
 $i++;
 }
 swap($arr, $i, $j);
 }
 quick_sort($arr, $left, $i-1); //对左边内容进行排序
 quick_sort($arr, $i+1, $right); //右边内容进行排序
 }
}
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
quick_sort($arr, 0, count($arr)-1 );
echo implode(',', $arr);

剑指offer的实现：

//分区方法. 这个思想很重要，可以在多个问题中使用。如：取前几名、字符串大小写字母分组等
function partition(&$arr, $left, $right){
 //随机、取最后一个为基准值，方便从头开始遍历
 $k = rand($left, $right);
 swap($arr, $k, $right);
 $pivot = $arr[$right]; 
 // 取两个指针A B，从{$left}开始走，B在遇到小于基准值是前走； 
 // 当A遇到小于基准值时和B处交换值；然后B指针前移一位。 
 // 完成一遍遍历，B指针的位置就是分割位。在把基准值替换到B+1即可
 $b = $left-1;
 for($a=$left; $a<=$right; $a++){
 if( $arr[$a] < $pivot){
 $b++;
 if( $a != $b){
 swap($arr, $a, $b);
 }
 }
 }
 $b++; //指针后移一位，然后替换基准值，保证前面的都小、后面的都大
 swap($arr, $b, $right);
 return $b;
}
//交换元素。除了这种方式还可以使用：
// a=a+b; b=a-b ; a=a-b，加法来实现，不申请额外空间
// a=a^b; b = a^b; a = b^a，异或来实现
function swap(&$arr, $i, $j){
 $t = $arr[$i];
 $arr[$i] = $arr[$j];
 $arr[$j] = $t;
}
//排序
function quick_sort( &$arr, $left, $right ){
 if( $left < $right){
 $index = partition($arr, $left, $right);
 quick_sort($arr, $left, $index-1);
 quick_sort($arr, $index+1, $right);
 }
}
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
quick_sort($arr, 0, count($arr)-1 );
echo implode(',', $arr);

运行耗时出现两种情况：

A: 13,27,38,49,50,65,76,97[Finished in 0.2s]
B: 13,27,38,49,50,65,76,97[Finished in 0.1s]
原因：排序使用了随机基准值的方法，所以分区比较、分区大小都是随机的。所以递归次数会有不同，耗时自然也就不同。

二、堆排序

利用堆这种数据结构，堆积生成一个近似完全的二叉树，并且满足堆积性质：即子节点的建值总是小于(或大于)它的父节点。 二叉树使用数组来实现，从头到尾对应堆的从上到下。

示例

最大堆（父节点大于任何一个子节点），则根节点时最大值。将根节点取出来，剩下的进行堆调整生成最大堆；重复上述步骤，直到堆无节点时完成排序。

海量数据TopK问题

用堆排序来解决海量数据TopK 问题会非常好。构建K个节点的最小堆；遍历数据，当数据大于最小根节点时替换根节点，进行堆调整，生成最小堆；遍历结束时，堆会保存其中最大的K个元素； 在进行堆排序，生成K个元素从大到小的排列。

算法描述与分析：

我们这里先介绍几个问题，一步步推到堆排序。

什么是堆

定义上面已有说明，示例如下：

 

使用数组存储：$arr = [1, 2, 3, 17, 19, 36, 7, 15, 170]

堆调整

为了保证堆的特性而做的一个操作。将该根节点就行下沉操作，一直沉到合适的位置，使得刚才的子树满足堆的性质。

例如对最大堆进行堆调整：

1.对应的数组元素A[i], 左孩子 left(2i+1), 右孩子right(2i+2), 中找最大的那一个，将其下标存入largest中；

2.如果A[i] 是最大的元素，则程序直接结束；

3.否则，i的某个子节点为最大元素，将A[i] 与 A[largest] 交换；

4.在从交换的子子节点开始，重复1,2,3步，直到叶子节点，完成一次堆调整。

建堆

建堆就是一个不断进行堆调整的过程。在数组中，我们一般从第n/2个数开始做堆调整，一直到下标为0的数 (因为下标大于n/2的数，都是叶子节点，无子数，所以其子数已经满足堆的性质了)。

堆调整只判断节点子树，进行该节点下沉操作，并不和父节点进行比较，

所以建堆时必须从后向前进行，首先保证子树满足特性，在一步步往上推。

ps: 数组下标从0开始，建堆节点应从下标 n/2 -1 开始

堆排序

堆排序是在建堆完成之后，进行的操作。

以最大堆为例，堆以数组形式进行存储，所以A[0]是最大值，将A[0]与A[n-1]交换，然后对A[0_{n-2]进行堆调整。第二次将A[0]与A[n-2]进行交换，A[0}n-3]进行堆调整，重复这样的操作直到A[0]与A[1]进行交换。 每次都将最大的数移入后面的区间，故操作完成之后，所得的数组就是从小到大有序排列的了。

堆排序图解

 

 

复杂度

时间复杂度：

O(nlogn)* : 建堆过程为O(n), 堆调整过程为O(nlogn)

空间复杂度：

O(1) : 就地排序

代码实现

<?php
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
sortHeap($arr);
function sortHeap(&$arr){
 $heap_size = count($arr) - 1;
 createHeap($arr, $heap_size );
 echo '建堆结果：'.implode(',', $arr)."rn";
 heApprint($arr, $heap_size);
 //堆排序
 $n = $heap_size;
 for($i=0; $i<=$n; $i++ ){
 swap($arr, 0, $heap_size); //最大值替换到最后面
 $heap_size--;
 adjustHeap($arr, $heap_size, 0); //A[0]替换为新的值，从该节点进行堆调整
 }
 echo '堆排序结果'.implode(',', $arr)."rn";
}
//建堆
function createHeap( &$arr, $heap_size){
 $n = floor($heap_size/2) -1;
 for($i=$n; $i>=0; $i-- ){ 
 // 从最后一个非叶子节点开始，下标递减进行建堆。 
 // 保证节点的子树满足堆的性质，才能进一步对节点的父节点进行堆调整; 否则会有问题
 adjustHeap($arr, $heap_size, $i);
 }
}
//堆调整 - 最大堆特性
function adjustHeap( &$arr, $heap_size, $i){
 $left = 2*$i + 1; //左子节点
 $right = 2*$i + 2; //右子节点
 $largest = $i; //默认最大节点为当前节点
 while( $left < $heap_size || $right<$heap_size){
 if( $left < $heap_size && $arr[$left] > $arr[$largest] ){
 $largest = $left; //左子节点大于目前值最大节点
 }
 if( $right<$heap_size && $arr[$right] > $arr[$largest] ){
 $largest = $right; //右子节点大于最大节点
 }
 //子节点大于该节点，需要将该节点下沉，并对下沉后的节点进行子树堆调整
 if($largest != $i){
 swap($arr, $largest, $i);
 $i = $largest;
 $left = 2*$i+1;
 $right = 2*$i+2;
 }else{
 // 该节点值是最大值时，结束调整。 
 // 因为：深层次的子树在建堆时已经满足堆性质，不需要再进行判断
 break;
 }
 }
}
function swap(&$arr, $i, $j){
 $t = $arr[$i]; $arr[$i] = $arr[$j]; $arr[$j] = $t;
}
//堆打印
function heapPrint($arr, $heap_size){
 //判断有多少行
 $rows = 1;
 while( pow(2, $rows-1) < $heap_size ){ $rows++;}
 //最后一行叶子节点的个数，最大个数
 $lastNumbers = pow(2, $rows-1);
 //输出
 $row = 1;
 $num = pow(2, $row-1);
 for( $i=0; $i<$heap_size; $i++){
 $t = $lastNumbers/ ( pow(2, $row-1) +1 ); //空格平均分割。除以（数字个数+1）
 $t = ceil($t);
 for($j=0; $j<$t; $j++){ echo " " ; }
 echo $arr[$i];
 if( $i+1 == $num ){
 echo "rn";
 $row++;
 $num += pow(2, $row-1);
 }
 }
 echo "rn";
}

运行结果：

建堆结果：97,76,65,38,49,13,27,50
 97
 76 65
 38 49 13 27
堆排序结果: 13,27,38,49,50,65,76,97
[Finished in 0.2s]

三、归并排序

归并排序是 分治法(Divide and Conquer)的一个非常经典的应用。将大序列拆分成n个小序列，先使小序列有序，然后合并有序子序列，得到排序结果。

将两个有序序列合并成一个序列的方法叫做2路归并。

算法描述与分析：

递归方法实现：

1.Divide: 把长度为n的序列分成长度为 n/2的子序列；

2.Conquer: 对每个子序列采用归并排序；

3.Combine：将排序好的两个子序列合并成最终的排序序列。

 

归并操作的工作原理如下：

第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列

第二步：设定两个指针最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置

重复步骤3直到某一指针超出序列尾

将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。

复杂度：

时间复杂度：

O(nlogn): 将序列分成小序列需要logn步，每一步合并都需要对n个元素进行比较，时间复杂度为O(n)，故一共为 o(nlogn)

空间复杂度:

O(n)

代码实现：

function mergeSort($arr){ 
 $len = count($arr);
 if($len<=1) return $arr;
 $mid = intval($len/2);
 $left = array_slice($arr, 0, $mid);
 $right = array_slice($arr, $mid);
 $a = mergeSort($left); //拆分排序子序列
 $b = mergeSort($right); //
 $arr = merge($a, $b); //合并，拆分几次，就合并几次
 return $arr;
}
//2路合并
function merge($arrA, $arrB){
 $arrC = [];
 while ( count($arrA)>0 && count($arrB)>0 ) {
 $arrC[] = ($arrA[0] < $arrB[0]) ? array_shift($arrA) : array_shift($arrB);
 }
 return array_merge($arrC, $arrA, $arrB);
}
$arr = [49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50];
$arr = mergeSort($arr);
echo implode(',', $arr);

输出结果：13,27,38,49,50,65,76,97[Finished in 0.2s]

四、插入排序

简介：

构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列从后向前扫描，找到合适的位置K并插入。 位置K之后的元素需要全部后移。

算法描述与分析：

1. 取第一个元素构建有序序列；
2. 取出下一个元素B，对有序序列从后向前扫描； 如果扫描到的元素大于B,则后移该元素；否则将B插入该元素后面；
3. 重复第2步，直到遍历完所有数据。

 

复杂度：

时间：O(n^2)

空间：O(1)

代码实现：

function insert_sort($arr){
 for( $i =1; $i<count($arr); $i++){
 $t = $arr[$i]; //待排元素
 for($j=$i-1; $j>=0; $j--){
 if( $arr[$j] > $t ){
 $arr[$j+1] = $arr[$j]; //大于待排元素，则后移
 }else{
 break;
 }
 }
 $arr[$j+1] = $t;
 }
 return $arr;
}

五、二分插入排序

原理同上。 只是在第二步寻找合适位置时，使用二分查找法，快速定位插入位置K；然后将K后的元素后移；在K位置插入待排值

复杂度：

同插入排序。

代码实现：

function binary_insertion_sort($arr){
 $count = count($arr);
 for( $i=1; $i<$count; $i++){
 $tmp = $arr[$i];
 //查找需要替换的位置
 $left = 0;
 $right = $i-1;
 while( $left <= $right){
 $middle = intval( ($right+$left)/2 ); //向上加1
 if( $arr[$middle] > $tmp){
 $right = $middle-1;
 }else{
 $left = $middle+1;
 }
 }
 //位置后的元素后移
 for( $j; $j>=$left; $j--){
 $arr[$j+1] = $arr[$j];
 }
 $arr[$left] = $tmp;
 }
 echo implode(',', $arr)."rn";
}

六、选择排序

从待排序列中选择最小(大)的元素，放在序列的起始位置；然后在从剩下的序列中继续选择最小(大)的元素，放在已排序序列的队尾。

 

复杂度：

时间：O(n^2)

空间：O(1)

七、冒泡排序

两层循环，外层循环次数=元素个数；

内层循环挨个比较，当 A[j] 大于 A[j+1]时交换两个值；

当内循环结束时，最多有n-1次交换，会将最大值置于尾部；

当一次外循环无元素交换时，说明序列已有序，可提前结束外层循环。

复杂度

时间： o(n^2)； 最优是已排序列进过一层循环发现无元素交换，直接退出程序，复杂度O(n)。

空间：O(1)

八、鸡尾酒排序

冒泡排序的变种，不同的地方在于从低到高后从高到低。一次层循环内完成一大一小两个元素的冒泡。

 

function cocktail_sort($arr){
 $i=1;
 $start =0;
 $len = count($arr)-1;
 $end = 0;
 while($i>0){ //有交换元素时继续执行
 $i=0;
 for($j=$start; $j<$len-$end; $j++){
 if( $arr[$j] > $arr[$j+1]){
 $t = $arr[$j];
 $arr[$j] = $arr[$j+1];
 $arr[$j+1] = $t;
 $i=1;
 }
 }
 //逆向冒泡来一次
 for($j=$len-$end; $j>$start; $j--){
 if( $arr[$j] < $arr[$j-1]){
 $t = $arr[$j];
 $arr[$j] = $arr[$j-1];
 $arr[$j-1] = $t;
 $i=1;
 }
 }
 $end++; //通过冒泡，尾部有序序列个数加一
 $start++; //头部有序序列个数加一
 }
}

九、桶排序

将数组分别放到有限数量的桶中。每个桶在进行独立的排序。 分桶要求桶中的最大数据小于下一个桶的最小数据。

复杂度

时间：

空间： O(N+M)

---

十、计数排序

1.找出待排序列的最大值和最小值；使用数组C来标识 C[min] - c[max]；

2.统计数组中每个值出现的次数，存入C[i]中；

3.反向填充目标数组：顺序遍历这个数组C，将下标解释成数据， 将该位置的值表示该数据的重复数量，得到排序好的数组。

注：

1. 当输入的元素是n 个0到k之间的整数时，它的运行时间是 O(n + k)。计数排序不是比较排序，排序的速度快于任何比较排序算法。
2. 只能对整数进行排序。

复杂度

时间：O(n)

空间：最大O(2n)

---

十一、基数排序

将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。

---

十二、位图排序

要求数据不重复，用bit位进行位图排序，能节省空间。

譬如： 每个学生答题一次，将已答题的学号记录在文件中。学号只出现一次，且学号连续。输入一个学号，查看是否答题。

解决： 将学号进行排序，在查找时使用二分查找。 因为学号不重复，所以可使用位图排序。

复杂度

位图排序不是比较排序，时间复杂度为 O(n)