编程的关键在于选择数据结构和算法，数据结构用于描述问题，算法用于描述解决问题的方法和步骤。

描述问题的数据除了各数据元素本身，还要考虑各元素的逻辑关系，主要是一对一的线性关系，一对多的树型关系和多对多的图形关系。另外，内存中对各数据元素的存储只有顺序存储和链式存储两种方式，所以数据结构还要考虑数据的存储结构，并考虑逻辑结构与数据结构如何有效地结合到一起。

用算法描述问题，当问题比较复杂时，通常的思路是分而治之，并辅以适当的数据结构。

1 分治法Divide and Conquer

分治法通常描述为以下三步：

Divide the problem into more subproblems（分解问题为众多的子问题）;

Conuqe(solve) the subproblems（解决各子问题）;

Combine(merge) the solution of subproblems(if need)（合并各子问题的解（如果需要））.

如用分治法来计算2^10?

2^10＝2^5*x^5=2^2*x^3*x^5=32*32=1024

相对于顺序查找，二分查找有更高的效率，前提是二分查找需要事先排好序：

int binarySearchLoop(int arr[], int len, int findData)
{
	if(arr==NULL || len <=0)
		return -1;
	int start = 0;
	int end = len-1;
	while(start<=end)
	{
		int mid = start+(end-start)/2;
		if(arr[mid] == findData)
			return mid;
		else if(findData < arr[mid])
			end = mid-1;
		else
			start = mid+1;
	}
	return -1;
}

2 枚举法也是一种暴力缩小问题规模的算法

简单的枚举算法也是可以优化的，即尽可能缩小搜索的空间，如判断质数：

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

判断质数的函数：

int isPrime(int n)
{
	if(n<= 1)// 小于等于1的整数不可能是素数
		return 0;
	if(n == 2); // 2 是素数
		return 1;
	if(n%2 == 0); // 能被2整除的其他整数都不是素数
		return 0;
	int limit = (int)sqrt((double)n)+1;
	for(int i = 3; i <= limit; i=i+2)
	{
		if(n % i == 0)
			return 0;
	}
	return 1;
}

isPrime()没有必要枚举所有的因子。

I 只要发现任何一个大于1小于n的因子，就能停下来报告n不是素数。

II 如果n能被2整除，直接报告n不是素数。如果n不能被2整除，那么它也不可能被4或6或其他偶数整除。因此，isPrime只需要检查2和奇数（由3开始，步长为2）。但注意有个特例，2能被2整除，但2是素数。

III 如果n不是素数，则必有一个因子小于√n 。因此不需要检查到n为止。只需检查到√n（n=√n*√n） 。

因为如果n能被2~n-1之间任一整数整除，其二个因子必定有一个小于或等于√n，另一个大于或等于√n。例如24可以表示为：2*12、3*8、4*6，前面的因子小于√24，后面的因子大于√24，检验出了小因子，即可判断n是否为素数，就像逻辑运算的短路求值。

3 程序的模块化

分治法在程序思想中的应用就是实现程序的模块化，包括面向过程的函数化和面向对象的对象化。

许多原因都促使我们将应用程序分解成函数，下面仅列举其中三个：

函数一般小而具体。用一系列函数来写程序，胜于一气呵成写完整个程序。这称为“分而治之”，使你的精力一次集中在一个函数上。

包含许多小函数的应用程序比单一的长程序更容易阅读和调试。

函数可以重用。函数写好后可在程序的其他任何地方调用。这减少了编码量，提高了开发效率。

4 函数调用与栈

首先讨论一个从a点出发去f点，然后回到a点的问题（中间的b、c、d、e都有多个分岔口）：

a→b2→c1→d3→e2→f，每个分岔口都有一个信封，告诉你应该走哪一个分支，为了能够正确地回到起点a，正确的做法是拿到一个信封后，即将这个信封叠在上一次拿到的信封的上面，回去时，依次从上面拿取信封，按提示即可正确返回。

其做法就是依次放入，依次取出，信封之间是顺序关系，只在一端操作，也就是不管是放入还是取出都不在中间操作。这样一种思路在计算机上用数据来描述就是后进先出的栈，函数的调用、返回，递归、回溯算法都需要使用栈这种数据结构（由程序员或递归时由编译器来实现）。

在C++中，函数不能嵌套定义，但可以嵌套调用，在函数调用时，编译器需要确保在逐级调用后能够回归到最初的调用点，编译器会隐式实现一个堆栈，用来保存每一级函数调用时的函数返回地址和局部变量，依次入栈和出栈。

C++也支持递归函数的递归调用，同样是由编译器隐式地实现了一个堆栈。

5 深度搜索与广度搜索

如果将上述的问题稍微扩展一点，要从源点到目标点，中间的节点可能有多个分叉，这样的问题可以用一个树或图来描述。

 

而探路的方法可以分为两种，一种是深度优先搜索（下一点、下一点……回溯……），一种是广度优先搜索（下一点的全部分叉、下一点的全部分叉……）：

5.1 深度优先搜索用栈（stack）来实现，整个过程可以想象成一个倒立的树形：

1）把根节点压入栈中。

2）每次从栈中弹出一个元素，搜索所有在它下一级的元素，把这些元素压入栈中。并把这个元素记为它下一级元素的前驱。

3）找到所要找的元素时结束程序。

4）如果遍历整个树还没有找到，结束程序。

 

5.2 广度优先搜索使用队列（queue）来实现，整个过程也可以看做一个倒立的树形：

1）把根节点放到队列的末尾。

2）每次从队列的头部取出一个元素，查看这个元素所有的下一级元素，把它们放到队列的末尾。并把这个元素记为它下一级元素的前驱。（取出的元素也可以保存到一个队列）

3）找到所要找的元素时结束程序。

4）如果遍历整个树还没有找到，结束程序。

 

广度优先搜索相对于深度优先搜索，因为是逐层探索的，可以确保以较少的点到达目标点，缺点是存储量较大。

6 递归算法

递归就是某个函数直接或间接的调用自身。

语法形式上: 在一个函数的运行过程中, 调用这个函数自己：

直接调用: 在fun()中直接执行fun()；

间接调用: 在fun1()中执行fun2(); 在fun2()中又执行fun1() ；

问题的求解过程是划分成许多相同性质的子问题的求解，而小问题的求解过程可以很容易的求出。这些子问题的解就构成里原问题的解。

待求解问题的解可以描述为输入变量x的函数f(x)。

通过寻找函数g( )，使得f(x) = g(f(x-1))。

且已知f(0)的值, 就可以通过f(0)和g( )求出f(x)的值。

扩展到多个输入变量x, y, z等, x-1也可以推广到 x - x1 , 只要递归朝着 “出口” 的方向即可。

递归算法分解出的子问题与原问题之间是纵向的, 同类的关系（枚举分解出的子问题之间是横向的, 同类的关系）。

递归的三个要点:

递归式：如何将原问题划分成子问题；

递归出口：递归终止的条件, 即最小子问题的求解,可以允许多个出口；

界函数： 问题规模变化的函数, 它保证递归的规模向出口条件靠拢。

如一个求阶乘的递归程序，给定n, 求阶乘n!

 

阶乘的栈：

 

二分搜索的递归实现：

int binarySearchRecursion(int arr[], int findData, int start, int end)
{
	if(arr==NULL || start>end)
		return -1;
		int mid = start+(end-start)/2;
		if(arr[mid] == findData)
			return mid;
		else if(findData < arr[mid])
			binarySearchRecursion(arr, findData, start, mid-1);
		else
			binarySearchRecursion(arr, findData, mid+1, end);

7 归并排序

归并排序（merge sort）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并（2-way or binary merges sort）。

归并排序在1945年由冯·诺伊曼首次提出。

2-路归并的基本思路就是将数组分成二组A，B，如果这二组组内的数据都是有序的，那么就可以很方便的将这二组数据进行排序。如何让这二组组内数据有序？

可以将A，B组各自再分成二组。依次类推，当分出来的小组只有一个数据时，可以认为这个小组组内已经达到了有序，然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先递归的分解数列，再合并数列就完成了归并排序。

归并排序的效率是比较高的，设数列长为N，将数列分开成小数列一共要logN步，每步都是一个合并有序数列的过程，时间复杂度可以记为O(N)，故一共为O(N*logN)。因为归并排序每次都是在相邻的数据中进行操作，所以归并排序在O(N*logN)的几种排序方法（快速排序，归并排序，希尔排序，堆排序）也是效率比较高的。

归并排序的实现分为递归实现与非递归(迭代)实现。递归实现的归并排序是算法设计中分治策略的典型应用，我们将一个大问题分割成小问题分别解决，然后用所有小问题的答案来解决整个大问题。非递归(迭代)实现的归并排序首先进行是两两归并，然后四四归并，然后是八八归并，一直下去直到归并了整个数组。

7.1 归并排序分解

 

可以看到这种结构很像一棵完全二叉树，分阶段可以理解为就是递归拆分子序列的过程，递归深度为log2n。

7.2 归并排序合并相邻有序子序列

再来看看并阶段，我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列，比如上图中的最后一次合并，要将[4,5,7,8]和[1,2,3,6]两个已经有序的子序列，合并为最终序列[1,2,3,4,5,6,7,8]，来看下实现步骤。

• 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列；
• 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置；
• 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置；temp[index++] = A[i] <= A[j] ? A[i++] : A[j++];
• 重复步骤3直到某一指针到达序列尾；
• 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾；

 

 

7.3 归并排序动图演示

 

 

 

7.4 归并排序代码

 

8 回溯法和分书问题

回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯“返回，尝试别的路径。可以参考一下走迷宫的过程，一开始会随机选择一条道路前进，一直到走不通之后就会回头直到找到另外一条没有试过的道路前进。实际上，走迷宫的算法就是回溯法的经典问题。

回溯法实际上也是一种试错的思路，通过不断尝试解的组合来达到求解可行解和最优解的目的。虽然都有穷搜的概念蕴含其中，但是回溯法和穷举查找法是不同的。对于一个问题的所有实例，穷举法注定都是非常缓慢的，但应用回溯法至少可以期望对于一些规模不是很小的实例，计算机在可接受的时间内对问题求解。

许多复杂的规模的问题都可以使用回溯法，有”通用解题方法”的美称。分书问题和八皇后都是典型的回溯法问题。

分书问题能够较有代表性地表现数据描述、递归、回溯的算法思路。

有编号为0，1，2，3，4的5本书，准备分给5个人A，B，C，D，E，写一个程序，输出所有皆大欢喜的分书方案。

每个人的阅读兴趣用一个二维数组like描述：

Like[i][j] = true i喜欢书j

Like[i][j] = false i不喜欢书j

 

设计一个函数trynext(int i)给第i个人分书。

用一个一维数组take表示某本书分给了某人。take[j]=i+1;//把第j本书分配给第i个人

依次尝试把书j分给人i。

如果第i个人不喜欢第j本书，则尝试下一本书，如果喜欢，并且第j本书尚未分配，则把书j分配给i。

如果i是最后一个人，则方案数加1，输出该方案。否则调用trynext(i+1)为第i+1个人分书。

如果对第i个人枚举了他喜欢的所有的书，都没有找到可行的方案，那就回到前一个状态i-1，让i-1把分到的书退回去，重新找喜欢的书，再递归调用函数，寻找可行的方案。

#include <IOStream>

#include <conio.h>

using namespace std;

int like[5][5]={

{0,0,1,1,0},

{1,1,0,0,1},

{0,1,1,0,1},

{0,0,0,1,0},

{0,1,0,0,1}};

int take[5]={0,0,0,0,0};//记录每一本书的分配情况

int n;//n表示分书方案数

void trynext(int i);

int main()

{

n=0;

trynext(0);

getch();

return 0;

}

//对第 i 个人进行分配

void trynext(int i)

{

int j,k;

for(j=0;j<5;j++)

{

if(like[i][j]&&take[j]==0)

{

take[j]=i+1;//把第j本书分配给第i个人

if(i==4)//第5个人分配结束，也即所有的书已经分配完毕，可以将方案进行输出

{

n++;

cout<<"第"<<n<<"种分配方案"<<endl;

for(k=0;k<5;k++)

cout<<"第"<<k<<"本书分配给"<<(char)(take[k]+'A'-1)<<endl;

cout<<endl;

}

else

trynext(i+1);//递归，对下一个人进行分配

take[j]=0;//回溯，寻找下一种方案

}

}

}

当like矩阵的值为

 

附归并排序的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
// 分类 -------------- 内部比较排序
// 数据结构 ---------- 数组
// 最差时间复杂度 ---- O(nlogn)
// 最优时间复杂度 ---- O(nlogn)
// 平均时间复杂度 ---- O(nlogn)
// 所需辅助空间 ------ O(n)
// 稳定性 ------------ 稳定
// 合并两个已排好序的数组A[left...mid]和A[mid+1...right]
void Merge(int A[], int left, int mid, int right)
{
	int len = right - left + 1;
	int *temp = new int[len]; // 辅助空间O(n)
	int index = 0;
	int i = left; // 前一数组的起始元素
	int j = mid + 1; // 后一数组的起始元素
	while (i <= mid && j <= right)
	{
		temp[index++] = A[i] <= A[j] ? A[i++] : A[j++]; // 带等号保证归并排序的稳定性
	}
	while (i <= mid)
	{
		temp[index++] = A[i++];
	}
	while (j <= right)
	{
		temp[index++] = A[j++];
	}
	for (int k = 0; k < len; k++)
	{
		A[left++] = temp[k];
	}
}
// 递归实现的归并排序(自顶向下)
void MergeSortRecursion(int A[], int left, int right) 
{
	if (left == right) // 当待排序的序列长度为1时，递归开始回溯，进行merge操作
		return;
	int mid = (left + right) / 2;
	MergeSortRecursion(A, left, mid); //左半部分排好序
	MergeSortRecursion(A, mid + 1, right); //右半部分排好序
	Merge(A, left, mid, right); //合并左右部分
}
// 非递归(迭代)实现的归并排序(自底向上)
void MergeSortIteration(int A[], int len) 
{
	int left, mid, right;// 子数组索引,前一个为A[left...mid]，后一个子数组为A[mid+1...right]
	for (int i = 1; i < len; i *= 2) // 子数组的大小i初始为1，每轮翻倍
	{
		left = 0;
		while (left + i < len) // 后一个子数组存在(需要归并)
		{
			mid = left + i - 1;
			right = mid + i < len ? mid + i : len - 1;// 后一个子数组大小可能不够
			Merge(A, left, mid, right);
			left = right + 1; // 前一个子数组索引向后移动
		}
	}
}
int main()
{
	int A1[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 }; // 从小到大归并排序
	int A2[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 };
	int n1 = sizeof(A1) / sizeof(int);
	int n2 = sizeof(A2) / sizeof(int);
	MergeSortRecursion(A1, 0, n1 - 1); // 递归实现
	MergeSortIteration(A2, n2); // 非递归实现
	printf("递归实现的归并排序结果：");
	for (int i = 0; i < n1; i++)
	{
		printf("%d ", A1[i]);
	}
	printf("
		");
		printf("非递归实现的归并排序结果：");
	for (i = 0; i < n2; i++)
	{
		printf("%d ", A2[i]);
	}
	printf("
		");
		system("pause");
	return 0;
}

－End－