数据结构 --- AVL树

AVL(Adelson-Velsky and Landis Tree) 树是一种自平衡二叉树, 也是最早发明的一种自动平衡二叉树。原因是由于BST(二叉搜索树)在用有序列表不断插入时会退化成链表而大大影响其效率，因此最早计算机科学家G. M. Adelson-Velsky和Evgenii Landis在1962年发明了AVL树。首先要明确AVL树是一种二叉搜索树(BST)，不了解BST的同学可以看我之前的一篇文章<<数据结构---二叉搜索树>>。AVL树中的任意节点的两颗子树高度差<=1。因此AVL树是高度平衡的。如下图所示的就是一颗AVL树。每个节点都标注了其高度。

 

在AVL树中把每个节点的左子树高度减去其右子树高度差定义为平衡因子。在AVL树中只有平衡因子大于等于-1并且小于等于1才是平衡的。因此平衡因子只能取3个值-1, 0和1。平衡因子取其它值被认为是不平衡的，就需要对该AVL树进行调整，以使其达到平衡。

当一颗AVL树不平衡时，我们需要对其进行一系列操作使其保持平衡，下面介绍AVL树的基本操作。

1. 左旋

 

上图是节点的原始状态，绕y节点进行左旋的步骤如下：

• 如果β不为空将β的parent设为x，同时将x的右孩子设为β。

 

• 如果p是NULL，将y设为根节点。
• 否则如果x是p的左孩子，将y设为p的左孩子
• 否则将y设为p的右孩子
• 将p设为y的父节点

 

• 将y设为x的父节点，将x设为y的左孩子，完成左旋。

 

1. 右旋

 

上图是节点的原始状态，绕x节点进行右旋的步骤如下：

• 如果β不为空，将β的父节点设为y，同时将y的左孩子设为β。

 

• 如果p是NULL，将x设为根节点
• 否则，如果y是p的右孩子，将p的右孩子设为x
• 否则，将p的左孩子设为x
• 将x的父节点设为p

 

• 将x设为y的父节点，将y设为x的右孩子，完成右旋

 

1. 左右旋转(LR)

如下图，左右旋转是将x以y为中心左旋。

 

然后再以y为中心对z进行右旋，完成平衡调整。

 

1. 右左旋转(RL)

如下图，先以y为中心对x进行右旋。

 

然后再以y为中心对z进行左旋，完成平衡调整。

 

上面我们介绍了AVL树的基本操作，下面我们介绍AVL树的插入和删除算法。

1. 插入算法

假设当前AVL树的初始状态如下图所示：

 

上图所示的AVL数每个节点的值和平衡因子都标了出来。它现在处于平衡状态，因为它的每个节点的平衡因子(左子树高度减去右子树高度的值)都满足要求(大于等于-1并且小于等于1)。现在假设我插入一个值为9的节点，我们来分步看看插入算法的整个过程。

• 首先按照BST的插入算法，插入值为9的节点。插入后，如下图所示:

 

• 可以看到，上面的树不再平衡，因为树中有三个节点的平衡因子为2，所以需要对其进行调整使其满足AVL树的性质。调整如下：

看下图棕色虚线框的部分，也就是插入节点后导致不平衡的部分，它满足左右旋转的特点。因此对其进行左右旋转。

 

左右旋转后得到下图:

 

从上图可以看出，该AVL树已经平衡。

1. 删除算法

从AVL树中删除一个节点，可以按照BST删除节点的方法先删除该节点，由于删除后AVL树可能不平衡，因此需要进行调整。假设要删除下面这颗AVL树的值为13的节点。删除过程如下：

 

• 按照BST的方法删除值为13的节点，删除后结果如下图所示：

 

• 重新计算各个节点的平衡因子，如下图所示：

 

值为21的节点平衡因子为2，因此需要调整。

• 调整该AVL数，使其平衡。

 

以上图中棕色框值为9的节点为中心，将值为21的节点右旋，右旋后得到下图：

 

再对上图的各个节点重新计算平衡因子得到下图:

 

从上图可以看出，各个节点的平衡因子均大于等-1并且小于等于1，所以调整完成。该AVL数达到平衡状态。

对于AVL数的遍历，查找均和BST树一样，不再介绍，同学们可以参考我之前的文章<<数据结构---二叉搜索树>>。

下面是AVL树的Python/ target=_blank class=infotextkey>Python代码实现：

# AVL tree implementation in Python

import sys

# Create a tree node

class TreeNode(object):

def __init__(self, key):

self.key = key

self.left = None

self.right = None

self.height = 1

class AVLTree(object):

# Function to insert a node

def insert_node(self, root, key):

# Find the correct location and insert the node

if not root:

return TreeNode(key)

elif key < root.key:

root.left = self.insert_node(root.left, key)

else:

root.right = self.insert_node(root.right, key)

root.height = 1 + max(self.getHeight(root.left),

self.getHeight(root.right))

# Update the balance factor and balance the tree

balanceFactor = self.getBalance(root)

if balanceFactor > 1:

if key < root.left.key:

return self.rightRotate(root)

else:

root.left = self.leftRotate(root.left)

return self.rightRotate(root)

if balanceFactor < -1:

if key > root.right.key:

return self.leftRotate(root)

else:

root.right = self.rightRotate(root.right)

return self.leftRotate(root)

return root

# Function to delete a node

def delete_node(self, root, key):

# Find the node to be deleted and remove it

if not root:

return root

elif key < root.key:

root.left = self.delete_node(root.left, key)

elif key > root.key:

root.right = self.delete_node(root.right, key)

else:

if root.left is None:

temp = root.right

root = None

return temp

elif root.right is None:

temp = root.left

root = None

return temp

temp = self.getMinValueNode(root.right)

root.key = temp.key

root.right = self.delete_node(root.right,

temp.key)

if root is None:

return root

# Update the balance factor of nodes

root.height = 1 + max(self.getHeight(root.left),

self.getHeight(root.right))

balanceFactor = self.getBalance(root)

# Balance the tree

if balanceFactor > 1:

if self.getBalance(root.left) >= 0:

return self.rightRotate(root)

else:

root.left = self.leftRotate(root.left)

return self.rightRotate(root)

if balanceFactor < -1:

if self.getBalance(root.right) <= 0:

return self.leftRotate(root)

else:

root.right = self.rightRotate(root.right)

return self.leftRotate(root)

return root

# Function to perform left rotation

def leftRotate(self, z):

y = z.right

T2 = y.left

y.left = z

z.right = T2

z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left),

self.getHeight(z.right))

y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left),

self.getHeight(y.right))

return y

# Function to perform right rotation

def rightRotate(self, z):

y = z.left

T3 = y.right

y.right = z

z.left = T3

z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left),

self.getHeight(z.right))

y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left),

self.getHeight(y.right))

return y

# Get the height of the node

def getHeight(self, root):

if not root:

return 0

return root.height

# Get balance factore of the node

def getBalance(self, root):

if not root:

return 0

return self.getHeight(root.left) - self.getHeight(root.right)

def getMinValueNode(self, root):

if root is None or root.left is None:

return root

return self.getMinValueNode(root.left)

def preOrder(self, root):

if not root:

return

print("{0} ".format(root.key), end="")

self.preOrder(root.left)

self.preOrder(root.right)

# Print the tree

def printHelper(self, currPtr, indent, last):

if currPtr != None:

sys.stdout.write(indent)

if last:

sys.stdout.write("R----")

indent += " "

else:

sys.stdout.write("L----")

indent += "| "

print(currPtr.key)

self.printHelper(currPtr.left, indent, False)

self.printHelper(currPtr.right, indent, True)

myTree = AVLTree()

root = None

nums = [33, 13, 52, 9, 21, 61, 8, 11]

for num in nums:

root = myTree.insert_node(root, num)

myTree.printHelper(root, "", True)

key = 13

root = myTree.delete_node(root, key)

print("After Deletion: ")

myTree.printHelper(root, "", True)