一文读懂矢量运算

在游戏编程或者传统三维软件中，点和矢量是特别容易混淆的，因为它们的表示方法都一样。比如一个点P，它的坐标表示为P=(x,y,z)，但是矢量的表示方法也是如此，那它们到底有什么区别呢？

点表示的是空间中的一个位置，它没有方向、大小、长度这类的概念。

而矢量是一段包含了长度（又叫做模）和方向的有向线段，它也经常被称为向量。我们常说的速度，就是一种典型的矢量。

与矢量形成对比的，叫做标量。标量是一种只有长度、没有方向的数学概念。生活中常提到的距离，它其实就是一种标量。

在这里，我们主要了解矢量，因为它贯穿于游戏编程的始终。对于矢量来说，只有它的模和方向保持不变，无论放在任何位置，都是同一个矢量。比如说下面的矢量a 和 矢量b，尽管它们在坐标系中的位置不同，但是它们的模和方向都是相同的，因此，它们是同一个矢量。矢量通常被用于表示相对于某个点的偏移。

矢量可以和矢量做运算，也可以和标量做运算。

矢量和标量的乘/除法

矢量和标量的运算比较简单，它们之间只能做乘除法，不能做加减法。矢量和标量相乘，只需要矢量的每个分量和标量相乘即可，而矢量除以标量，相当于乘以标量的倒数。

从几何意义来看，矢量乘以一个正标量k，相当于将矢量扩大了k倍，方向不变；而乘以一个负标量，矢量不仅扩大了|k|倍，方向也会取反。

矢量的加/减法

两个矢量相加减，只需要将每个矢量的对应分量相加减即可，最后的结果是得到一个新矢量。

矢量的加减法，它表达的是偏移的几何意义。

以加法为例，矢量a + 矢量b，它表示的是：一个点，从a的起始位置出发，便偏移了a，接着又偏移了b，就等同于进行了一个a+b的位移。这里的矢量a、b，它们的首尾是相连的。

如果a、b首尾不相连，就变成了减法，a-b，表示的是a相对于b的偏移。

矢量的点积

矢量之间也可以进行乘法，通常有两种类型：点积和叉积。先来说说点积。

矢量的点积有两种公式，第一种是矢量之间对应分量的乘积之和，也就是：

从公式可以看出，点积是满足乘法交换律的，也就是a*b = b*a。

点积可以用来判断两个矢量之间的方向夹角关系。

如果 a * b > 0,说明a和b是锐角关系；

如果 a * b = 0,说明a和b是直角关系；

如果 a * b < 0,说明a和b是钝角关系；

在游戏编程中，也通常使用点积来计算投影，这和求矢量方向夹角是同一个道理。

另外，点积可以和标量进行乘法运算，并且符合乘法的结合律。

点积还可以结合矢量加法做运算，相当于求点积之和。

一个矢量和本身进行点积，结果是这个矢量模的平方。

这里有说到矢量的模，它的求法等于矢量各分量的平方和开根号，即：

另外，模为1的矢量，被称为单位矢量，也叫做归一化矢量。

矢量的第二种公式是：

矢量的叉积

矢量的另一种乘法运算叫做叉积，和点积不同的是，叉积的结果仍然是一个矢量，而非标量。

两个矢量的叉积用a X b来表示，这个x号不同于数学的乘号，这点不要混淆。叉积计算也有两种公式，第一种是：

叉积不满足交换律，即 a X b ≠ b X a，但它满足反交换律，即a X b = -( b X a)

叉积也不满足结合律，即 (a X b) X c ≠ a X (b X c)

从几何意义来讲，两个矢量叉积的结果，会得到一个同时垂直于这两个矢量的新矢量，这个新矢量的模很好计算，既可以通过模公式来得到，也可以通过矢量a、b以及他们之间的夹角θ来得到

对于新矢量的方向，它可能存在两个完全相反的方向，要确定具体哪个方向，就要看使用的左手坐标系还是右手坐标系。

要求a X b 新矢量的方向，如果是左手坐标系，伸直左手拇指微握其他四指，指背与矢量a方向垂直，四指弯曲方向朝矢量b靠拢，这是拇指指向的方向，就是新矢量的方向。

同样地，如果是右手坐标系，则伸出右手按照同样的法则来判断方向。

叉积在游戏编程中，经常用于计算垂直于一个平面、三角形的矢量。另外，还可以用于判断三角面片的朝向。